Una palla lanciata

Una palla lanciata verso l'alto a 80 piedi al secondo da un tetto alto 40 piedi raggiunge 140 piedi dopo 2.5 secondi e tocca terra dopo circa 5.46 secondi.

Quando raggiunge la massima altezza e quando tocca terra?

Prima due domande, con una matita se ne hai una. Una palla lanciata verticalmente da un tetto alto 40 piedi a 80 piedi al secondo ha altezza H(t) = −16t² + 80t + 40 dopo t secondi. Quando è più in alto? Quando tocca terra? Entrambe le risposte usano strumenti delle unità precedenti. Una è un vertice. L'altra è una radice ottenuta dalla formula risolutiva. Scrivi le risposte e confrontale con i calcoli qui sotto.

Che cosa significano −16, 80 e 40

OpenStax usa questo esempio: una palla viene lanciata verso l'alto dalla sommità di un edificio alto 40 piedi a una velocità di 80 piedi al secondo; la sua altezza dal suolo dopo t secondi è modellata da H(t) = −16t² + 80t + 40. Ogni termine ha un significato. La costante 40 è l'altezza iniziale, perché per t = 0 resta solo 40. Il termine 80t è l'altezza che raggiungerebbe mantenendo la velocità iniziale. Il termine −16t² è la gravità che la richiama verso il basso: cresce più rapidamente di 80t, ed è per questo che alla fine la palla inverte il moto e cade.

Da dove viene il 16? Vicino al suolo, la gravità aumenta la velocità di un corpo in caduta di circa 32 piedi al secondo ogni secondo; il valore standard è 9.80665 m/s², circa 32.174 ft/s². La distanza di caduta è la metà di quel valore per t², e metà di 32 è 16. In metri lo stesso modello è h(t) = −4.9t² + vt + h₀. Il modello trascura la resistenza dell'aria: è ragionevole per una palla pesante nell'arco di pochi secondi, ma non per una piuma.

Il punto più alto: 140 piedi a 2.5 secondi

H(t) è una funzione quadratica con a = −16, quindi il grafico ha concavità verso il basso e il vertice è il punto più alto. Il tempo del vertice è t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5 secondi. L'altezza corrispondente è H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140 piedi. La palla sale dunque per due secondi e mezzo, raggiunge 140 piedi e poi scende. Nota che qui la formula del vertice risponde a una domanda fisica: quando smette di salire la palla?

A terra dopo circa 5.46 secondi

La palla tocca terra quando H(t) = 0, cioè −16t² + 80t + 40 = 0. Non si scompone facilmente, quindi usa la formula: t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32). Le due risposte sono circa 5.458 e circa −0.458. Un tempo negativo indicherebbe un istante prima del lancio, fuori dalla situazione descritta dal modello: la palla tocca quindi terra dopo circa 5.458 secondi. Il discriminante, 8960, è positivo, coerentemente con il fatto che il grafico attraversa l'asse del tempo.

Lo stesso calcolo del vertice per una recinzione e un prezzo

La stessa idea del vertice risolve problemi senza palle. In un altro esempio di OpenStax, un giardiniere ha 80 piedi di rete per tre lati di un rettangolo e usa la recinzione del cortile come quarto lato. Se ogni lato perpendicolare alla recinzione esistente ha lunghezza L, il lato lungo è 80 − 2L e l'area è A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L². Il vertice è per L = −80/(2 × (−2)) = 20, quindi il giardino migliore misura 20 piedi per 40 piedi, con area di 800 piedi quadrati. Nella stessa sezione, un modello dei ricavi di un giornale raggiunge il massimo a un prezzo di $31.80 per abbonamento.