Cara gerbang menjumlahkan bilangan

Satu gerbang XOR dan satu gerbang AND cukup untuk menjumlahkan dua bit. Rangkai empat full adder dan kamu bisa menjumlahkan dua bilangan apa pun dari 0 sampai 15.

Coba ini sebelum lanjut membaca. Jumlahkan 0101 dan 0011 di kertas, dalam biner, seperti kamu menjumlah dalam desimal, dan tulis setiap simpanan di atas kolom berikutnya. Kamu hanya perlu tiga fakta: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, dan 1 + 1 = 10, artinya tulis 0 dan simpan 1. Jika ada simpanan yang masuk, 1 + 1 + 1 = 11, jadi kamu menulis 1 dan menyimpan 1. Penyelesaiannya ada di paragraf berikut, jadi tutupi dulu.

Ini penyelesaiannya. Kolom paling kanan: 1 + 1 = 10, tulis 0, simpan 1. Berikutnya: 0 + 1 ditambah simpanan adalah 10 lagi, tulis 0, simpan 1. Berikutnya: 1 + 0 ditambah simpanan, 10, tulis 0, simpan 1. Paling kiri: 0 + 0 ditambah simpanan adalah 1. Jawabannya 1000, yaitu 8, dan 5 + 3 = 8. Tiga dari empat kolom menghasilkan simpanan. Kalkulator, gim, dan spreadsheet semuanya pada akhirnya melakukan persis hal ini. Di dalam prosesor, setiap kolom ditangani beberapa gerbang, dan adegan dimulai dengan penjumlahan yang sama. Lalu coba 9 + 8 di sana. Hasilnya butuh bit kelima.

Kolom paling kanan hanya butuh dua gerbang

Lihat kolom paling kanan saja. Bit jawabannya di sana, jumlah (sum), bernilai 1 jika tepat satu masukan bernilai 1. Itulah aturan XOR. Simpanannya (carry) bernilai 1 hanya jika kedua masukan 1. Itulah aturan AND. Jadi gerbang XOR dan gerbang AND berdampingan, yang diberi dua masukan yang sama, menjumlahkan dua bit. Rangkaian kecil ini disebut half adder (penjumlah setengah). Disebut "setengah" karena tidak punya cara untuk menerima simpanan dari kolom di kanannya.

Kolom lainnya harus menjumlahkan tiga bit

Di setiap kolom lainnya bertemu tiga bit: satu dari tiap bilangan dan simpanan dari kanan. Full adder (penjumlah penuh) menerima ketiganya. Jumlahnya adalah A XOR B XOR simpanan masuk, yang bernilai 1 jika banyaknya angka 1 di antara ketiganya ganjil. Simpanan keluarnya bernilai 1 jika setidaknya dua di antaranya 1. Dua half adder dan satu gerbang OR membentuk satu full adder. Jajarkan empat full adder, sambungkan setiap simpanan keluar ke simpanan masuk penjumlah di kirinya, dan kamu mendapat penjumlah 4 bit. Setiap simpanan harus merambat dari kanan ke kiri sebelum kolom terakhir tenang, jadi rancangan ini disebut ripple-carry adder (penjumlah simpanan merambat). Prosesor sungguhan menjumlahkan bilangan 64 bit dengan rangkaian yang lebih cerdik, yang menghitung simpanan lebih dulu, tetapi aturan di setiap kolom tetap sama.

Apa yang terjadi jika jawabannya terlalu besar

Empat bit menampung 0 sampai 15. Jumlahkan 9 dan 8, dan jawaban sebenarnya, 17, adalah 10001 dalam biner, yaitu lima bit. Register yang hanya menyimpan empat bit menyimpan 0001, yaitu 1, dan simpanan yang tersisa di kiri adalah tanda peringatannya. Itulah overflow. 15 + 1 dalam empat bit menyisakan 0000. Prosesor memasang sebuah flag (penanda) saat itu terjadi agar program bisa menyadarinya. Pengurangan memakai penjumlah yang sama. Untuk menghitung A − B, prosesor membalik setiap bit B dan menambahkan 1, yang menghasilkan komplemen dua dari B, lalu menjumlahkannya dengan A dan membuang simpanan lebihnya. Untuk 5 − 3 dalam empat bit: 3 adalah 0011, dibalik menjadi 1100, ditambah 1 menjadi 1101. Lalu 0101 + 1101 = 10010, dan dengan menyimpan empat bit tersisa 0010, yaitu 2.

Perkalian adalah menggeser dan menjumlah

Perkalian berasal dari bagian yang sama. Dalam biner, mengalikan dengan 2 menggeser setiap bit satu tempat ke kiri, sama seperti mengalikan dengan 10 menambahkan satu nol dalam desimal: 0011 (3) menjadi 0110 (6). Untuk 5 × 3, perhatikan bahwa 3 adalah 2 + 1. Jadi 5 × 3 = 5 × 2 + 5 × 1 = 1010 + 0101 = 1111, yaitu 15. Rangkaian pengali menggeser dan menjumlah seperti ini, mengambil bit 1 dari bilangan kedua satu per satu.