Como as portas somam números

Uma porta XOR e uma porta AND bastam para somar dois bits. Encadeie quatro somadores completos e você pode somar quaisquer dois números de 0 a 15.

Tente isto antes de continuar lendo. Some 0101 e 0011 no papel, em binário, do jeito que você soma em decimal, e escreva cada vai um acima da coluna seguinte. Você só precisa de três fatos: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 e 1 + 1 = 10, o que quer dizer escreva 0 e vai 1. Com um vai um chegando, 1 + 1 + 1 = 11, então você escreve 1 e vai 1. A resolução está no próximo parágrafo, então cubra-o antes.

Aqui está a resolução. Coluna da direita: 1 + 1 = 10, escreve 0, vai 1. Próxima: 0 + 1 mais o vai um dá 10 de novo, escreve 0, vai 1. Próxima: 1 + 0 mais o vai um, 10, escreve 0, vai 1. A da esquerda: 0 + 0 mais o vai um dá 1. A resposta é 1000, que é 8, e 5 + 3 = 8. Três das quatro colunas tiveram vai um. Uma calculadora, um jogo e uma planilha acabam todos fazendo exatamente isso. Dentro de um processador, cada coluna é tratada por algumas portas, e a cena começa com essa mesma soma. Depois tente 9 + 8 lá. Ela precisa de um quinto bit.

A coluna da direita precisa só de duas portas

Olhe a coluna da direita sozinha. O bit da resposta ali, a soma, é 1 quando exatamente uma entrada é 1. Essa é a regra do XOR. O vai um é 1 só quando as duas entradas são 1. Essa é a regra do AND. Então uma porta XOR e uma porta AND lado a lado, recebendo as mesmas duas entradas, somam dois bits. Esse pequeno circuito é um meio somador. Ele é só “meio” porque não tem como receber um vai um da coluna à sua direita.

As outras colunas têm três bits para somar

Em todas as outras colunas, três bits se encontram: um de cada número e o vai um que vem da direita. Um somador completo recebe os três. Sua soma é A XOR B XOR vai-um-de-entrada, que é 1 quando uma quantidade ímpar dos três é 1. Seu vai um de saída é 1 quando pelo menos dois deles são 1. Dois meios somadores e uma porta OR formam um somador completo. Alinhe quatro somadores completos, ligue o vai um de saída de cada um ao vai um de entrada do somador à esquerda, e você tem um somador de 4 bits. Cada vai um precisa ondular da direita para a esquerda antes que a última coluna se acerte, por isso esse projeto se chama somador de propagação de vai um (ripple-carry). Processadores reais somam números de 64 bits com circuitos mais espertos, que calculam os vai uns antes, mas a regra em cada coluna é a mesma.

O que acontece quando a resposta é grande demais

Quatro bits guardam de 0 a 15. Some 9 e 8 e a resposta verdadeira, 17, é 10001 em binário, com cinco bits. Um registrador que guarda só quatro bits fica com 0001, que é 1, e o vai um que sobra à esquerda é o sinal de alerta. Isso é overflow. 15 + 1 em quatro bits deixa 0000. Os processadores ligam um indicador (flag) quando isso acontece, para que os programas possam perceber. A subtração reaproveita o mesmo somador. Para calcular A − B, o processador inverte todos os bits de B e soma 1, o que dá o complemento de dois de B, depois soma isso a A e descarta o vai um extra. Para 5 − 3 em quatro bits: 3 é 0011, invertido é 1100, mais 1 é 1101. Então 0101 + 1101 = 10010, e guardando quatro bits sobra 0010, que é 2.

Multiplicar é deslocar e somar

A multiplicação vem das mesmas peças. Em binário, multiplicar por 2 move cada bit uma posição para a esquerda, assim como multiplicar por 10 acrescenta um zero no decimal: 0011 (3) vira 0110 (6). Para 5 × 3, repare que 3 é 2 + 1. Então 5 × 3 = 5 × 2 + 5 × 1 = 1010 + 0101 = 1111, que é 15. Um circuito multiplicador desloca e soma assim, pegando os bits 1 do segundo número um de cada vez.