Come sommano i numeri le porte

Una porta XOR e una porta AND bastano per sommare due bit. Collega in catena quattro sommatori completi e puoi sommare due numeri qualsiasi da 0 a 15.

Prova prima di andare avanti. Somma 0101 e 0011 sulla carta, in binario, come sommi in decimale, e scrivi ogni riporto sopra la colonna successiva. Ti servono solo tre fatti: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 e 1 + 1 = 10, cioè scrivi 0 e riporti 1. Con un riporto in arrivo, 1 + 1 + 1 = 11, quindi scrivi 1 e riporti 1. Il calcolo è nel paragrafo successivo, quindi coprilo prima.

Ecco il calcolo. Colonna più a destra: 1 + 1 = 10, scrivi 0, riporti 1. Poi: 0 + 1 più il riporto fa di nuovo 10, scrivi 0, riporti 1. Poi: 1 + 0 più il riporto, 10, scrivi 0, riporti 1. Colonna più a sinistra: 0 + 0 più il riporto fa 1. Il risultato è 1000, cioè 8, e 5 + 3 = 8. Tre colonne su quattro hanno avuto un riporto. Una calcolatrice, un videogioco e un foglio di calcolo finiscono tutti per fare esattamente questo. Dentro un processore ogni colonna è gestita da poche porte, e la scena parte dalla stessa somma. Poi prova 9 + 8. Serve un quinto bit.

Alla colonna più a destra bastano due porte

Guarda da sola la colonna più a destra. Il bit del risultato, la somma, vale 1 quando esattamente un ingresso è 1. È la regola di XOR. Il riporto vale 1 solo quando entrambi gli ingressi sono 1. È la regola di AND. Quindi una porta XOR e una porta AND affiancate, alimentate dagli stessi due ingressi, sommano due bit. Questo piccolo circuito è un semisommatore. È solo «semi» perché non ha modo di ricevere un riporto dalla colonna alla sua destra.

Nelle altre colonne si sommano tre bit

In ogni altra colonna si incontrano tre bit: uno per ciascun numero e il riporto da destra. Un sommatore completo li riceve tutti e tre. La sua somma è A XOR B XOR riporto in ingresso, che vale 1 quando un numero dispari dei tre bit è 1. Il suo riporto in uscita vale 1 quando almeno due di essi sono 1. Due semisommatori e una porta OR formano un sommatore completo. Metti in fila quattro sommatori completi, collega ogni riporto in uscita al riporto in ingresso del sommatore alla sua sinistra, e hai un sommatore a 4 bit. Ogni riporto deve propagarsi da destra a sinistra prima che l'ultima colonna si stabilizzi, quindi questo schema si chiama sommatore a propagazione del riporto (ripple-carry). I processori reali sommano numeri a 64 bit con circuiti più astuti che calcolano i riporti in anticipo, ma la regola in ogni colonna è la stessa.

Che cosa succede quando il risultato è troppo grande

Quattro bit contengono da 0 a 15. Somma 9 e 8: il risultato vero, 17, in binario è 10001, cioè cinque bit. Un registro che tiene solo quattro bit memorizza 0001, cioè 1, e il riporto avanzato a sinistra è il segnale d'allarme. Questo è l'overflow. 15 + 1 in quattro bit lascia 0000. Quando succede, i processori attivano un flag perché i programmi possano accorgersene. La sottrazione riusa lo stesso sommatore. Per calcolare A − B, il processore inverte ogni bit di B e aggiunge 1, ottenendo il complemento a due di B, poi lo somma ad A e scarta il riporto in più. Per 5 − 3 in quattro bit: 3 è 0011, invertito è 1100, più 1 è 1101. Poi 0101 + 1101 = 10010, e tenendo quattro bit resta 0010, cioè 2.

Moltiplicare è spostare e sommare

La moltiplicazione nasce dagli stessi pezzi. In binario, moltiplicare per 2 sposta ogni bit di una posizione a sinistra, proprio come moltiplicare per 10 aggiunge uno zero in decimale: 0011 (3) diventa 0110 (6). Per 5 × 3, nota che 3 è 2 + 1. Quindi 5 × 3 = 5 × 2 + 5 × 1 = 1010 + 0101 = 1111, cioè 15. Un circuito moltiplicatore sposta e somma in questo modo, prendendo uno alla volta i bit a 1 del secondo numero.