Cómo suman números las compuertas

Una compuerta XOR y una AND bastan para sumar dos bits. Encadena cuatro sumadores completos y podrás sumar dos números cualesquiera del 0 al 15.

Prueba esto antes de seguir leyendo. Suma 0101 y 0011 en papel, en binario, como sumas en decimal, y escribe cada acarreo encima de la columna siguiente. Solo necesitas tres datos: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 y 1 + 1 = 10, que significa escribir 0 y llevar 1. Si además llega un acarreo, 1 + 1 + 1 = 11, así que escribes 1 y llevas 1. La solución está en el párrafo siguiente, así que tápalo primero.

Esta es la solución. Columna de la derecha: 1 + 1 = 10, escribes 0 y llevas 1. Siguiente: 0 + 1 más el acarreo vuelve a dar 10, escribes 0 y llevas 1. Siguiente: 1 + 0 más el acarreo, 10, escribes 0 y llevas 1. La de la izquierda: 0 + 0 más el acarreo da 1. La respuesta es 1000, que es 8, y 5 + 3 = 8. Tres de las cuatro columnas llevaron. Una calculadora, un videojuego y una hoja de cálculo terminan haciendo exactamente esto. Dentro de un procesador, cada columna la resuelven unas pocas compuertas, y la escena empieza con la misma suma. Luego prueba 9 + 8 allí. Necesita un quinto bit.

La columna de la derecha solo necesita dos compuertas

Mira solo la columna de la derecha. El bit de respuesta, la suma, es 1 cuando exactamente una entrada es 1. Esa es la regla de XOR. El acarreo es 1 solo cuando las dos entradas son 1. Esa es la regla de AND. Así que una compuerta XOR y una AND una al lado de la otra, alimentadas con las mismas dos entradas, suman dos bits. Este pequeño circuito es un semisumador. Es solo «semi» porque no tiene forma de recibir un acarreo de la columna de su derecha.

Las demás columnas tienen tres bits que sumar

En todas las demás columnas se juntan tres bits: uno de cada número y el acarreo de la derecha. Un sumador completo recibe los tres. Su suma es A XOR B XOR acarreo de entrada, que es 1 cuando un número impar de los tres es 1. Su acarreo de salida es 1 cuando al menos dos de ellos son 1. Dos semisumadores y una compuerta OR forman un sumador completo. Pon en fila cuatro sumadores completos, conecta cada acarreo de salida al acarreo de entrada del sumador de su izquierda y tendrás un sumador de 4 bits. Cada acarreo tiene que propagarse de derecha a izquierda antes de que se asiente la última columna, por eso este diseño se llama sumador con acarreo en cascada. Los procesadores reales suman números de 64 bits con circuitos más ingeniosos que calculan los acarreos por adelantado, pero la regla de cada columna es la misma.

Qué pasa cuando la respuesta es demasiado grande

Cuatro bits guardan de 0 a 15. Suma 9 y 8 y la respuesta real, 17, es 10001 en binario, que son cinco bits. Un registro que solo guarda cuatro bits almacena 0001, que es 1, y el acarreo que sobra a la izquierda es la señal de alerta. Eso es desbordamiento. 15 + 1 en cuatro bits deja 0000. Los procesadores activan un indicador cuando ocurre para que los programas lo noten. La resta reutiliza el mismo sumador. Para calcular A − B, el procesador invierte cada bit de B y suma 1, lo que da el complemento a dos de B, luego lo suma a A y descarta el acarreo sobrante. Para 5 − 3 en cuatro bits: 3 es 0011, invertido es 1100, más 1 es 1101. Luego 0101 + 1101 = 10010, y al quedarse con cuatro bits queda 0010, que es 2.

Multiplicar es desplazar y sumar

La multiplicación sale de las mismas piezas. En binario, multiplicar por 2 mueve cada bit una posición a la izquierda, igual que multiplicar por 10 añade un cero en decimal: 0011 (3) pasa a 0110 (6). Para 5 × 3, fíjate en que 3 es 2 + 1. Así que 5 × 3 = 5 × 2 + 5 × 1 = 1010 + 0101 = 1111, que es 15. Un circuito multiplicador desplaza y suma así, tomando los bits en 1 del segundo número de uno en uno.