Bits und Binärzahlen

Acht Schalter können 256 verschiedene Muster zeigen, genug für jede Zahl von 0 bis 255.

Probier die Schalter unten aus, bevor du weiterliest. Drück auf Alle aus. Schalte jetzt nur den Schalter ganz rechts ein und lies die Zeile unter der Reihe: 1. Schalte ihn aus und den links daneben ein: 2. Der nächste ergibt 4, der danach 8. Geh weiter nach links. Am anderen Ende hast du jeden Wert gesehen, den ein Schalter in einem Byte haben kann, und der letzte ist 128 wert.

Jeder Schalter ist doppelt so viel wert wie der rechts daneben

Was du gerade gesehen hast, ist schon die ganze Idee des Binärsystems. Im Dezimalsystem ist jede Stelle zehnmal so viel wert wie die rechts daneben: Einer, Zehner, Hunderter. Im Binärsystem ist jede Stelle doppelt so viel wert, die Werte lauten also 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Um ein Muster zu lesen, addierst du die Werte der eingeschalteten Schalter. Bei 00100101 sind die Schalter 32, 4 und 1 an, das ergibt 32 + 4 + 1 = 37. Schalte genau diese drei ein, dann sollte die Summenzeile übereinstimmen. Eine weitere Regel bekommst du gratis dazu. Nur der Schalter ganz rechts hat einen ungeraden Wert. Eine Zahl ist also genau dann gerade, wenn ihr letztes Bit 0 ist.

Warum ein Chip zwei Zustände statt zehn nutzt

Die Schalter auf dem Bildschirm stehen für echte. Ein Computerchip enthält Milliarden winziger elektronischer Schalter, die Transistoren heißen, und in jedem Moment lässt jeder von ihnen Strom durch oder sperrt ihn. Ingenieure schreiben diese beiden Zustände als 1 und 0. Einer davon ist ein Bit, kurz für binary digit (Binärziffer). Der Buchstabe, den du tippst, und das Lied, das du abspielst, landen beide als lange Reihen von Bits.

Warum nicht zehn Zustände, einen für jede Dezimalziffer? Die Spannung auf einer Leitung im Chip ist nie genau. Wärme, benachbarte Leitungen und kleine Unterschiede zwischen Transistoren schieben sie ständig ein wenig nach oben und unten. Eine Schaltung, die nur hoch von niedrig unterscheiden muss, kann das meiste davon ignorieren, denn alles über einer Mittellinie zählt als 1 und alles darunter als 0. Quetscht man zehn Stufen in denselben Bereich, liegen sie so dicht beieinander, dass schon ein wenig Rauschen eine Stufe wie ihre Nachbarin aussehen lassen könnte. Zwei Zustände passen außerdem zu einem Schalter. Er ist entweder ganz an oder ganz aus und muss nie eine genaue Zwischenstellung halten.

100 mit den Schaltern schreiben

Der umgekehrte Weg, von einer Zahl zu Bits, funktioniert wie Bezahlen mit der größten Münze, die noch passt. Nimm 100. 128 ist zu groß. 64 passt, bleiben 36. 32 passt, bleiben 4. 16 und 8 sind beide zu groß für 4. 4 passt, bleibt 0. Also sind die Schalter 64, 32 und 4 an: 1100100, oder 01100100 als volles Byte. Wähle in der Szene 100 als Ziel und prüfe nach. Manche mögen eine zweite Methode lieber. Teile immer wieder durch 2, schreib jeden Rest auf und lies die Reste dann von unten nach oben. Beide Wege ergeben dieselben Bits.

Ein Schalter mehr verdoppelt die Muster

Wie viele verschiedene Zahlen können acht Schalter bilden? Jedes zusätzliche Bit verdoppelt die Anzahl. Ein Bit ergibt 2 Muster. Zwei Bits ergeben 4: 00, 01, 10 und 11. Drei ergeben 8, und n Bits ergeben 2 hoch n. Ein Byte, also acht Bits, ergibt 256 Muster, deshalb zählt ein Byte von 0 bis 255, und deshalb endet auch jede der vier Zahlen einer IPv4-Adresse bei 255. Du willst 1000 Dingen je eine eigene Nummer geben? 9 Bits ergeben nur 512. Du brauchst 10, die ergeben 1024.

Drück ab 0 ein paarmal auf +1 und beobachte die Schalter. Es sieht aus wie ein Kilometerzähler im Auto, nur mit zwei Ziffern auf jedem Rad. 0, dann 1, dann springt die 1er-Stelle um und gibt einen Übertrag an die 2er-Stelle: 10. Dann 11. Dann springen beide auf einmal um: 100. Sind alle Schalter an, hast du 11111111, also 255. Das richtige Ergebnis von 255 + 1 ist 256, und dafür braucht man ein neuntes Bit: 100000000. Die Szene behält nur acht Bits, deshalb zeigt +1 ab 255 eine 0. Das ist ein Überlauf. Er kommt in der Einheit zum Addierwerk wieder vor.