비트와 이진수

스위치 여덟 개로 서로 다른 패턴 256가지를 만들 수 있고, 0부터 255까지 모든 수를 나타낼 수 있습니다.

읽기 전에 아래 스위치부터 만져 보세요. 먼저 「모두 끄기」를 누르고, 맨 오른쪽 스위치 하나만 켭니다. 스위치 줄 아래에 1이 나옵니다. 그 스위치를 끄고 바로 왼쪽 스위치를 켜면 2가 나옵니다. 그다음은 4, 그다음은 8입니다. 이렇게 한 칸씩 왼쪽으로 옮겨 가면 맨 왼쪽 스위치에서 128이 나옵니다. 바이트 하나의 스위치 여덟 개가 가질 수 있는 자리값을 방금 모두 만났습니다. 숫자가 어떻게 늘어났는지 기억해 두세요.

스위치 하나는 오른쪽 스위치의 두 배입니다

방금 본 것이 이진법의 전부입니다. 십진법에서는 자리가 하나 왼쪽으로 갈 때마다 값이 열 배가 됩니다. 일의 자리, 십의 자리, 백의 자리를 생각하면 됩니다. 이진법에서는 열 배가 아니라 두 배씩 커져서 자리값이 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128로 이어집니다. 이진수를 읽을 때는 켜진 스위치의 자리값만 모두 더합니다. 00100101은 32, 4, 1 자리가 켜져 있으니 32 + 4 + 1 = 37입니다. 위 장면에서 그 세 개만 켜 보면 아래 줄에도 37이 나옵니다. 여기서 규칙이 하나 저절로 따라 나옵니다. 홀수 값을 가진 스위치는 맨 오른쪽 1의 자리 하나뿐입니다. 그래서 마지막 비트가 0이면 그 수는 짝수이고, 1이면 홀수입니다.

칩이 열 단계가 아니라 두 단계를 쓰는 까닭

화면 속 스위치는 진짜 스위치를 흉내 낸 그림입니다. 컴퓨터 칩 안에는 트랜지스터라는 아주 작은 전자 스위치가 수십억 개 들어 있고, 하나하나가 어느 순간이든 전류를 흘려보내거나 막고 있습니다. 엔지니어들은 이 두 상태를 1과 0으로 적습니다. 1이나 0 하나를 비트(bit)라고 하는데, 이진 숫자라는 뜻의 binary digit를 줄인 말입니다. 키보드로 친 글자 한 자도, 이어폰으로 듣는 노래 한 곡도 컴퓨터 안에서는 비트를 길게 늘어놓은 줄로 저장됩니다.

그러면 십진수처럼 열 단계를 쓰면 안 될까요? 칩 안의 전선에 걸리는 전압은 한 번도 딱 떨어지게 정확하지 않습니다. 열, 바로 옆을 지나는 전선, 트랜지스터마다 조금씩 다른 성질 때문에 전압은 늘 조금씩 오르내립니다. 「높음」과 「낮음」만 가리면 되는 회로는 이런 흔들림을 대부분 무시할 수 있습니다. 가운데에 선을 하나 그어 두고, 그보다 높으면 1, 낮으면 0으로 읽으면 되니까요. 같은 전압 범위에 열 단계를 밀어 넣으면 단계 사이 간격이 좁아져서, 조금만 흔들려도 옆 단계로 잘못 읽힙니다. 스위치 입장에서도 두 상태가 가장 쉽습니다. 완전히 켜거나 완전히 끄면 되고, 그 중간 어딘가를 조심스럽게 붙들고 있을 필요가 없습니다.

스위치로 100 만들기

거꾸로 수를 비트로 바꿀 때는 큰 돈부터 내는 계산과 비슷하게 합니다. 편의점에서 3,700원을 낼 때 1,000원짜리를 먼저 세고 나머지를 동전으로 맞추는 것과 같은 순서입니다. 100을 예로 들어 보겠습니다. 128은 100보다 커서 쓸 수 없습니다. 64는 들어가고 36이 남습니다. 32가 들어가고 4가 남습니다. 남은 4에는 16도 8도 너무 큽니다. 4가 들어가고 0이 남습니다. 그래서 64, 32, 4 자리를 켜면 1100100, 여덟 자리를 다 채워 쓰면 01100100입니다. 장면에서 목표를 100으로 골라 맞는지 확인할 수 있습니다. 다른 방법을 더 좋아하는 사람도 있습니다. 수를 2로 계속 나누면서 나머지를 적어 두고, 그 나머지를 아래에서 위로 읽는 방법입니다. 어느 방법으로 하든 비트는 똑같이 나옵니다.

스위치가 하나 늘면 패턴은 두 배

스위치 여덟 개로는 서로 다른 수를 몇 개나 만들 수 있을까요? 비트가 하나 늘 때마다 가짓수가 두 배가 됩니다. 1비트는 2가지, 2비트는 00, 01, 10, 11의 4가지, 3비트는 8가지이고, n비트는 2의 n제곱 가지입니다. 8비트인 바이트 하나는 256가지라서 0부터 255까지 셀 수 있습니다. IPv4 주소에 들어 있는 네 숫자가 하나같이 255에서 멈추는 이유도 여기에 있습니다. 물건 1000개에 저마다 다른 번호를 붙여야 한다면 몇 비트가 필요할까요? 9비트로는 512가지밖에 안 되어 모자랍니다. 10비트여야 1024가지가 되어 넉넉해집니다.

0에서 시작해 「+1」을 몇 번 눌러 보면서 스위치를 지켜보세요. 바퀴마다 숫자가 0과 1 두 개뿐인 자동차 주행 거리계처럼 움직입니다. 0, 그다음 1, 그다음에는 1의 자리가 한 바퀴 돌아 0이 되면서 2의 자리로 1을 올려 보내 10이 됩니다. 그다음 11, 그다음에는 두 자리가 한꺼번에 넘어가 100이 됩니다. 스위치를 모두 켜면 11111111이고, 이 수는 255입니다. 255 + 1의 진짜 답은 256이고, 256을 쓰려면 아홉째 비트가 필요해서 100000000이 됩니다. 이 장면은 여덟 비트만 담기 때문에 255에서 「+1」을 누르면 0이 나옵니다. 이것을 오버플로라고 하며, 덧셈기 단원에서 다시 만납니다.