Биты и двоичные числа

Восемь переключателей могут показать 256 разных комбинаций, этого хватает на все числа от 0 до 255.

Прежде чем читать, попробуй переключатели ниже. Нажми «Всё выключить». Теперь включи только самый правый переключатель и прочитай строку под рядом: 1. Выключи его и включи соседний слева: 2. Следующий даёт 4, а за ним 8. Двигайся дальше влево. К дальнему концу ты встретишь все значения, которые может иметь переключатель в байте, и последний стоит 128.

Каждый переключатель стоит вдвое больше правого соседа

То, что ты сейчас увидел, и есть вся идея двоичной системы. В десятичной системе каждый разряд в десять раз больше разряда справа: единицы, десятки, сотни. В двоичной каждый разряд вдвое больше, поэтому значения идут так: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Чтобы прочитать комбинацию, сложи значения включённых переключателей. В 00100101 включены переключатели 32, 4 и 1, что даёт 32 + 4 + 1 = 37. Включи ровно эти три, и строка суммы должна совпасть. Ещё одно правило получается само собой. Нечётное значение только у самого правого переключателя. Значит, число чётное тогда и только тогда, когда его последний бит равен 0.

Почему микросхема использует два состояния, а не десять

Переключатели на экране изображают настоящие. В микросхеме компьютера миллиарды крошечных электронных переключателей, транзисторов, и в каждый момент каждый из них либо пропускает ток, либо нет. Инженеры записывают эти два состояния как 1 и 0. Одно такое значение называется битом, от binary digit, «двоичная цифра». И буква, которую ты печатаешь, и песня, которую ты включаешь, в итоге становятся длинными рядами битов.

Почему не десять состояний, по одному на каждую десятичную цифру? Напряжение на проводнике внутри микросхемы никогда не бывает точным. Нагрев, соседние проводники и небольшие различия между транзисторами всё время немного сдвигают его вверх и вниз. Схема, которой нужно лишь отличать высокое от низкого, почти всё это пропускает мимо, потому что всё выше средней линии считается 1, а всё ниже 0. Втисни десять уровней в тот же диапазон, и они окажутся так близко, что небольшой шум может превратить один в соседний. Два состояния подходят и переключателю. Он либо полностью включён, либо полностью выключен, и ему никогда не нужно аккуратно держать промежуточное положение.

Записываем 100 переключателями

Обратный путь, от числа к битам, похож на оплату самой крупной монетой, которая подходит. Возьмём 100. 128 слишком много. 64 подходит, остаётся 36. 32 подходит, остаётся 4. И 16, и 8 больше 4. 4 подходит, остаётся 0. Значит, включены переключатели 64, 32 и 4: 1100100, или 01100100 как полный байт. Выбери в сцене цель 100 и проверь. Некоторым больше нравится второй способ. Дели на 2 снова и снова, записывай каждый остаток, а потом читай остатки снизу вверх. Оба способа дают одни и те же биты.

Ещё один переключатель удваивает число комбинаций

Сколько разных чисел могут дать восемь переключателей? Каждый лишний бит удваивает количество. Один бит даёт 2 комбинации. Два бита дают 4: 00, 01, 10 и 11. Три дают 8, а n битов дают 2 в степени n. Байт, восемь битов, даёт 256 комбинаций, поэтому байт считает от 0 до 255, и поэтому же каждое из четырёх чисел в адресе IPv4 не больше 255. Нужно дать 1000 предметам собственные номера? 9 битов дают только 512. Нужно 10, они дают 1024.

Нажми +1 несколько раз, начиная с 0, и следи за переключателями. Это похоже на счётчик пробега в машине, где на каждом колёсике всего две цифры. 0, потом 1, потом разряд 1 перекидывается и переносит единицу в разряд 2: 10. Потом 11. Потом перекидываются оба сразу: 100. Когда включены все переключатели, получается 11111111, то есть 255. Настоящий ответ на 255 + 1 равен 256, и для него нужен девятый бит: 100000000. Сцена хранит только восемь битов, поэтому +1 от 255 показывает 0. Это переполнение. Оно вернётся в уроке о сумматоре.