Bits et nombres binaires

Huit interrupteurs peuvent afficher 256 combinaisons différentes, de quoi écrire chaque nombre de 0 à 255.

Avant de lire quoi que ce soit, essaie les interrupteurs ci-dessous. Appuie sur Tout éteindre. Allume maintenant seulement l'interrupteur le plus à droite et lis la ligne sous la rangée : 1. Éteins-le et allume celui de gauche : 2. Le suivant donne 4, puis le suivant 8. Continue vers la gauche. Arrivé au bout, tu as rencontré toutes les valeurs qu'un interrupteur d'un octet peut avoir, et le dernier vaut 128.

Chaque interrupteur vaut le double de celui de droite

Ce que tu viens de voir, c'est toute l'idée du binaire. En décimal, chaque rang vaut dix fois le rang à sa droite : unités, dizaines, centaines. En binaire, chaque rang vaut deux fois plus, donc les valeurs sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Pour lire une combinaison, additionne les valeurs des interrupteurs allumés. 00100101 a les interrupteurs 32, 4 et 1 allumés, ce qui fait 32 + 4 + 1 = 37. Allume exactement ces trois-là et la ligne de somme doit être d'accord. Une autre règle vient gratuitement. Seul l'interrupteur le plus à droite vaut un nombre impair. Un nombre est donc pair exactement quand son dernier bit vaut 0.

Pourquoi une puce utilise deux états plutôt que dix

Les interrupteurs à l'écran représentent de vrais interrupteurs. Une puce d'ordinateur contient des milliards de minuscules interrupteurs électroniques appelés transistors, et à chaque instant chacun laisse passer le courant ou le bloque. Les ingénieurs notent ces deux états 1 et 0. Chacun d'eux est un bit, abréviation de binary digit (chiffre binaire). La lettre que tu tapes et la chanson que tu écoutes finissent toutes deux en longues rangées de bits.

Pourquoi pas dix états, un par chiffre décimal ? La tension sur un fil dans une puce n'est jamais exacte. La chaleur, les fils voisins et de petites différences entre transistors la font monter et descendre un peu en permanence. Un circuit qui doit seulement distinguer haut et bas peut ignorer presque tout cela, car tout ce qui est au-dessus d'une ligne médiane compte comme 1 et tout ce qui est en dessous comme 0. Si l'on serre dix niveaux dans la même plage, ils sont si proches qu'un peu de bruit pourrait faire lire l'un pour son voisin. Deux états conviennent aussi à un interrupteur. Il est complètement ouvert ou complètement fermé, et n'a jamais à tenir une position délicate entre les deux.

Écrire 100 avec les interrupteurs

Dans l'autre sens, d'un nombre vers les bits, on procède comme pour payer avec la plus grosse pièce qui convient. Prends 100. 128 est trop grand. 64 convient, il reste 36. 32 convient, il reste 4. 16 et 8 sont tous deux trop grands pour 4. 4 convient, il reste 0. Les interrupteurs 64, 32 et 4 sont donc allumés : 1100100, ou 01100100 sur un octet complet. Choisis 100 comme cible dans la scène et vérifie. Certains préfèrent une seconde méthode. On divise par 2 encore et encore, on note chaque reste, puis on lit les restes de bas en haut. Les deux méthodes donnent les mêmes bits.

Un interrupteur de plus double les combinaisons

Combien de nombres différents huit interrupteurs peuvent-ils former ? Chaque bit supplémentaire double le compte. Un bit donne 2 combinaisons. Deux bits en donnent 4 : 00, 01, 10 et 11. Trois en donnent 8, et n bits donnent 2 puissance n. Un octet, huit bits, donne 256 combinaisons : un octet compte donc de 0 à 255, et c'est aussi pourquoi chacun des quatre nombres d'une adresse IPv4 s'arrête à 255. Il faut donner un numéro propre à 1000 objets ? 9 bits n'en donnent que 512. Il en faut 10, qui en donnent 1024.

Appuie plusieurs fois sur +1 en partant de 0 et regarde les interrupteurs. On dirait le compteur kilométrique d'une voiture avec seulement deux chiffres sur chaque roue. 0, puis 1, puis le rang des 1 revient à zéro et fait une retenue sur le rang des 2 : 10. Puis 11. Puis les deux reviennent à zéro en même temps : 100. Avec tous les interrupteurs allumés, tu as 11111111, soit 255. La vraie réponse à 255 + 1 est 256, et elle demande un neuvième bit : 100000000. La scène ne garde que huit bits, donc +1 à partir de 255 affiche 0. C'est un dépassement de capacité. On le retrouve dans l'unité sur l'additionneur.