일: 힘 곱하기 거리

수평 아래 35° 방향으로 75 N의 힘을 주어 잔디 깎는 기계를 25 m 밀면 1,540 J의 일을 합니다. 음식 3분의 1칼로리쯤입니다.

물리의 일은 생활 속 일보다 좁은 뜻입니다

무거운 가방을 움직이지 않고 들고 있으면 아주 힘든 일을 하는 것처럼 느껴집니다. 하지만 물리에서는 정지한 가방에 역학적 일을 하지 않습니다. 물리에서 말하는 일(work)에는 엄격한 뜻이 있습니다. 힘이 물체에 일을 하려면 반드시 물체가 움직여야 하고, 그때에도 일은 힘 가운데 운동 방향을 향한 부분만 합니다. 그리고 일을 하면 에너지가 옮겨 갑니다. 일이라는 개념이 중요한 까닭은 바로 이 연결에 있습니다.

힘이 일정할 때 일을 구하는 규칙은 W = F d cos θ입니다. 여기서 F는 힘의 크기, d는 물체가 움직인 거리, θ는 힘의 방향과 운동 방향 사이의 각입니다. 이 가운데 F cos θ가 바로 힘 가운데 운동 방향을 향한 부분입니다. 일은 에너지와 같은 줄로 재고, 1줄은 1뉴턴의 힘으로 물체를 1 m 밀었을 때 한 일입니다. 1 J = 1 N·m입니다.

일이 0이 되는 경우

OpenStax 교재는 서류 가방 하나로 여러 경우를 나누어 설명합니다. 먼저 서류 가방을 든 채 가만히 서 있는 사람은 가방에 아무 일도 하지 않습니다. 가방이 움직이지 않아 d = 0이기 때문입니다. 그래도 팔 근육은 지칩니다. 근육 안에서 섬유들이 서로를 거슬러 일을 하고 있기 때문입니다. 하지만 그 에너지 가운데 가방으로 들어가는 것은 하나도 없습니다. 가방을 들고 평평한 바닥을 일정한 속력으로 가로질러 걸어가는 사람도 가방에 일을 하지 않습니다. 가방을 드는 힘은 위쪽을 향하고 운동은 옆쪽을 향하므로 θ = 90°, cos 90° = 0입니다.

이번에는 같은 가방을 들고 계단을 올라가 봅니다. 이때는 일을 하게 됩니다. 이제는 드는 힘에 운동 방향을 따르는 부분이 생기기 때문입니다. 이렇게 한 일의 에너지는 가방과 지구 사이에 중력 위치 에너지로 저장되어 남습니다. 가방을 천천히 내려놓을 때는 손의 힘이 여전히 위쪽이고 운동은 아래쪽입니다. 그러면 θ = 180°, cos 180° = −1이라 일이 음수입니다. 이번에는 손이 가방에서 에너지를 빼내는 것입니다. 음의 일 가운데 우리 주변에서 가장 흔하게 볼 수 있는 예는 마찰입니다. 마찰은 언제나 미끄러지는 운동을 방해하므로, 움직이는 물체에서 에너지를 빼내 그것을 열로 바꿉니다.

예제: 잔디 깎는 기계

정원사가 잔디 깎는 기계를 밉니다. 손잡이는 수평에서 아래로 35° 기울어져 있고, 정원사는 손잡이를 따라 75.0 N의 일정한 힘으로 밀어 평평한 땅 위에서 기계를 25.0 m 옮깁니다. 이때 정원사가 미는 힘이 기계에 한 일은 W = 75.0 × 25.0 × cos 35° = 1,536 J, 약 1.54 × 10³ J입니다. 꽤 많아 보이지만 음식 에너지 단위로 바꾸어 보면 1,536 ÷ 4,186 = 0.37 kcal밖에 되지 않습니다. OpenStax 교재에 따르면 하루 종일 바쁘게 움직인 날에도 우리가 먹은 에너지 가운데 일에 쓰이는 몫은 10%가 안 되고, 나머지는 몸의 열이 되거나 몸에 저장됩니다.

아래 실험실에서 힘을 50 N, 거리를 10 m로 맞추세요. 바닥과 나란한 방향(0°)으로 밀면 그 힘은 500 J의 일을 합니다. 각을 60°로 올리면 cos 60° = 0.5이므로 힘의 절반만 앞쪽을 향하고, 그래서 일은 250 J로 줄어듭니다. 각이 90°가 되면 아무리 세게 당겨도 한 일은 0입니다.

중력도 물체에 일을 합니다. 예를 들어 0.5 kg 공을 2 m 높이에서 떨어뜨린다고 해 봅시다. 중력은 m g = 0.5 × 9.8 = 4.9 N으로 아래로 당기고 공은 같은 방향으로 2 m 움직이므로, 중력이 한 일은 4.9 × 2 = 9.8 J입니다. 이번에는 같은 공을 2 m 위로 똑바로 던져 올립니다. 그러면 올라가는 동안 중력은 −9.8 J의 일을 하고, 공이 느려지면서 공에서 에너지를 빼앗아 갑니다. 공이 올라갔다가 다시 손으로 돌아오는 한 바퀴 전체를 보면, 중력이 한 일의 합은 0입니다. 이것이 위치 에너지에 대한 첫 실마리이고, 위치 에너지는 4단원에서 자세히 다룹니다.