위치, 거리, 변위

400 m 트랙을 한 바퀴 돌면 달린 거리는 400 m이지만 변위는 0입니다.

어디에 있을까요? 위치에는 기준점이 필요합니다

누군가에게 버스 정류장이 어디냐고 물으면 그 사람은 「이 길로 200 m 가면 있어요」라고 대답할지도 모릅니다. 이 짧은 대답 안에는 모두 세 가지 부분이 들어 있습니다. 하나는 출발점(여기)이고, 또 하나는 방향(이 길로), 마지막은 크기(200 m)입니다. 물리에서도 위치를 이와 똑같은 방식으로 나타냅니다. 우리는 먼저 기준점을 하나 정해 0으로 부르고, 어느 쪽을 +로 셀지 정한 다음, 단위가 붙은 숫자로 씁니다. 곧게 뻗은 길 위라면 x = +200 m처럼 숫자 하나만으로 위치를 나타낼 수 있습니다. 같은 방식으로 보면, 출발선보다 50 m 뒤에 서 있는 차는 x = −50 m라는 위치에 있습니다.

기준점을 어디로 정할지는 여러분이 마음대로 고를 수 있습니다. 기준점을 바꾸면 숫자는 달라지지만, 그 숫자가 나타내는 물리는 조금도 달라지지 않습니다. 예를 들어 달리는 기차 안에 앉아 있다고 해 봅시다. 탁자 위에 놓인 컵은 여러분을 기준으로 하면 전혀 움직이지 않지만, 땅을 기준으로 하면 기차와 같은 빠르기로 움직이고 있습니다. 이 두 설명은 모두 맞습니다. 둘은 그저 서로 다른 기준틀(frame of reference)을 썼을 뿐입니다. OpenStax 대학 물리 교재(College Physics)도 이것을 이렇게 정리합니다. 모든 운동은 무언가를 기준으로 기술되며, 그러니 그 무언가가 무엇인지 언제나 밝혀 두어야 한다는 것입니다.

거리와 변위는 다릅니다

거리(distance)는 여러분이 실제로 지나간 길의 전체 길이입니다. 거리는 늘어나기만 할 뿐 줄어들지 않고, 방향도 없습니다. 이와 달리 변위(displacement)는 위치의 변화입니다. 나중 위치에서 처음 위치를 뺀 값이며 Δx = x_f − x₀로 씁니다. 변위에는 크기와 방향이 모두 있어서 그 값이 +일 수도, −일 수도, 0일 수도 있습니다. 예를 들어 동쪽으로 5 m 걷고 나서 서쪽으로 3 m 돌아온다고 해 봅시다. 이때 거리는 5 + 3 = 8 m입니다. 그런데 변위는 +5 − 3 = +2 m입니다. 이것은 여러분이 처음 출발한 자리보다 동쪽으로 2 m 떨어진 곳에서 끝났다는 뜻입니다.

그래서 트랙을 한 바퀴 돌아 출발한 자리로 돌아온 선수는 두 다리로 400 m를 달리는 수고를 했어도 변위가 0입니다. 시내를 가로질러 갔다가 다시 돌아온 배달 기사도 마찬가지입니다. 계기판에는 거리가 많이 찍히지만, 하루가 끝났을 때 변위는 0입니다. 거리는 여행 전체에 대해 알려 줍니다. 변위는 처음 출발한 자리와 비교해 여러분이 결국 어디에서 끝났는지를 알려 줍니다.

스칼라와 벡터

거리, 시간, 질량, 온도처럼 크기만 있는 양을 스칼라(scalar)라고 부릅니다. 변위, 속도, 가속도, 힘처럼 크기와 방향이 함께 있는 양은 벡터(vector)라고 부릅니다. 직선 위에서는 벡터가 어느 쪽을 향하는지를 + 또는 − 부호로 나타냅니다. 두 방향으로 펼쳐진 평면에서는 화살표를 그려서 나타냅니다. 화살표의 길이는 크기를 보여 주고, 화살표의 끝은 방향을 보여 줍니다. 여러분은 이 화살표를 뒤에 나오는 운동 실험실에서 다시 만나게 됩니다. 거기서는 날아가는 공에 속도 화살표와 그 화살표의 두 성분이 함께 붙어 다닙니다.

새로운 물리량을 만날 때마다 간단히 확인하는 방법이 있습니다. 「어느 쪽으로?」라는 말이 그 양에 어울리는지 스스로 물어보는 것입니다. 차가 북쪽으로 3 km 움직였다는 말은 자연스럽습니다. 그러니 변위는 벡터입니다. 그런데 수업이 북쪽으로 40분 걸렸다는 말은 어색합니다. 그러니 시간은 스칼라입니다.

지도와 내비게이션도 같은 생각을 두 방향의 평면 위에서 씁니다. 예를 들어 동쪽으로 300 m를 걷고, 다시 북쪽으로 400 m를 걸으면 지나간 거리는 700 m입니다. 하지만 출발점에서 도착점까지 곧은 변위는 대략 북동쪽으로 500 m뿐입니다. 이 500 m는 피타고라스 정리에서 나옵니다. √(300² + 400²) = 500입니다. 집으로 돌아가는 비둘기나 나침반을 든 등산객에게 중요한 것은 변위이고, 만보기가 세는 것은 거리입니다. 어떤 문제가 무언가가 처음 출발한 자리에서 얼마나 떨어져 있느냐고 물으면, 그 문제는 언제나 변위를 묻고 있는 것입니다.