파장, 진동수, 속력

10 m 간격의 바다 물결이 5초마다 갈매기를 한 번씩 들어 올린다면 그 물결은 초속 2 m로 나아갑니다.

파동 세기: 주기와 진동수

부두에 서서 밀려오는 물결을 바라본다고 해 봅시다. 물결의 시간 간격은 간단한 측정 두 가지로 나타낼 수 있습니다. 주기(period) T는 파동 하나가 정해진 한 지점을 완전히 지나가는 데 걸리는 시간이며, 물 위에 뜬 코르크 마개가 올라갔다가 내려오고 다시 올라가는 데 걸리는 시간과 같습니다. 진동수(frequency) f는 1초 동안 그 지점을 지나가는 파동의 수입니다. 이 둘은 같은 것을 두 가지 방향에서 본 값이므로 f = 1/T입니다. 예를 들어 주기가 0.5초인 파동은 진동수가 1초에 2번입니다. 진동수의 단위는 헤르츠(Hz)이며, 1 Hz는 1초에 한 번 되풀이된다는 뜻입니다. 이 단위는 실험실에서 처음으로 전파를 만들어 내고 검출한 하인리히 헤르츠의 이름을 딴 것입니다.

파동의 진동수는 무엇이든 그 파동을 만들어 내는 쪽이 정합니다. 예를 들어 1초에 440번 떨리는 스피커의 진동판은 440 Hz의 소리를 내보냅니다. 밧줄을 1초에 두 번 흔드는 손은 2 Hz의 파동을 만듭니다. OpenStax 교재에 따르면 파동이 한 물질에서 다른 물질로 넘어갈 때 진동수는 대개 바뀌지 않고 그대로입니다. 새 물질은 앞의 물질이 흔드는 박자 그대로 흔들리기 때문입니다. 대신 속력은 바뀔 수 있고, 그러면 파장이 그 속력에 맞춰 바뀌어야 합니다.

파동의 식 v = fλ

한 주기 동안 파동은 정확히 한 파장만큼 앞으로 나아갑니다. 한 주기가 지나면 여기 있던 마루의 자리를 바로 다음 마루가 차지하기 때문입니다. 속력은 거리를 시간으로 나눈 값이므로, 파동의 속력은 v = λ/T입니다. 그런데 1/T는 진동수이므로 이 식은 v = fλ가 됩니다. OpenStax 교재는 이것을 모든 종류의 파동에 성립하는 기본 관계라고 부릅니다. 물결에도, 소리에도, 빛에도, 줄의 파동에도 똑같이 성립한다는 것입니다. 교재에 실린 풀이 예는 앞 단원에서 본 그 갈매기입니다. 마루와 마루 사이가 10.0 m이고 갈매기가 5.00초마다 한 번씩 오르내린다면 v = 10.0 m ÷ 5.00 s = 2.00 m/s입니다. 갈매기 자신은 빠르기가 계속 바뀌면서 위아래로 오르내릴 뿐입니다. 2.00 m/s는 갈매기의 속력이 아니라 물결 무늬가 나아가는 속력입니다.

속력은 무엇이 정할까요?

밧줄을 더 빨리 흔들면 파동도 더 빨리 나아갈 거라고 생각하기 쉽습니다. 하지만 그렇지 않습니다. 여기서 쓰는 비분산 모형에서는 파동의 속력을 매질 자체가 정합니다. 속력은 매질이 얼마나 단단하거나 팽팽한지, 그리고 얼마나 무거운지에 달려 있습니다. 밧줄이나 기타 줄에서는 장력이 클수록, 즉 팽팽할수록 파동이 빨라집니다. 그래서 기타 줄을 조이면 음이 높아집니다. 공기 속에서 소리의 속력은 온도에 따라 달라지지만, 진동수에는 거의 영향을 받지 않습니다. 그러니 밧줄을 더 빨리 흔들어서 f를 높이면, 속력은 그대로이고 그 대신 파장이 짧아집니다. 반대로 밧줄을 천천히 흔들면 파동의 길이가 길어집니다.

이 관계는 어느 오케스트라에서나 눈으로 볼 수 있는 모습 하나를 설명해 줍니다. OpenStax 교재가 짚듯이 피콜로처럼 작은 악기는 높은 음을 내고, 튜바처럼 큰 악기는 낮은 음을 냅니다. 모든 소리가 같은 공기 속을 같은 속력으로 지나가므로, 진동수가 높은 소리는 파장이 짧아야 하고 진동수가 낮은 소리는 파장이 길어야 합니다. 그래서 악기의 크기는 그 악기가 만들어 내는 파장과 이어져 있습니다. 30 °C의 공기에서 사람이 들을 수 있는 가장 낮은 소리(20 Hz)의 파장은 약 17 m이고, 가장 높은 소리(20 000 Hz)의 파장은 약 1.7 cm입니다.

식 다루기

파동 문제는 대부분 세 값 가운데 두 개를 알려 주고 나머지 하나를 묻습니다. 이 식의 모양을 바꾸면 f = v/λ, 그리고 λ = v/f가 됩니다. 이때 단위를 서로 맞추는 것이 중요합니다. 미터와 초와 헤르츠를 함께 쓰면 속력은 초당 미터로 나옵니다. 파동 문제에서는 아주 큰 수와 아주 작은 수가 금방 나옵니다. 예를 들어 빛은 초속 약 3.00 × 10⁸ m로 나아가므로, 105.1 MHz로 방송하는 라디오 방송국은 길이 3.00 × 10⁸ ÷ 1.051 × 10⁸ ≈ 2.85 m의 파동을 내보냅니다. 이것은 OpenStax 교재가 전자기파를 다루는 장에서 직접 계산해 보이는 예입니다. 오케스트라가 악기의 음을 맞출 때 쓰는 라(A) 음의 파장 0.78 m도 같은 식으로 구할 수 있습니다.