Wellenlänge, Frequenz und Geschwindigkeit

Wellenberge im Meer, die 10 m auseinanderliegen und eine Möwe alle 5 s anheben, bewegen sich mit 2 m/s.

Wellen zählen: Schwingungsdauer und Frequenz

Stell dich auf einen Steg und beobachte die ankommenden Wellen. Zwei einfache Messgrößen beschreiben ihren zeitlichen Ablauf. Die Schwingungsdauer T ist die Zeit, in der eine vollständige Welle an einem festen Punkt vorbeizieht. In dieser Zeit bewegt sich ein schwimmender Korken einmal nach oben, nach unten und wieder nach oben. Die Frequenz f gibt an, wie viele Wellen pro Sekunde vorbeiziehen. Beide Größen beschreiben denselben Vorgang aus unterschiedlicher Sicht: f = 1/T. Eine Welle mit einer Schwingungsdauer von 0.5 s hat eine Frequenz von 2 pro Sekunde. Die Einheit der Frequenz heißt Hertz (Hz), also ein Schwingungszyklus pro Sekunde. Sie ist nach Heinrich Hertz benannt, der Radiowellen erstmals im Labor erzeugte und nachwies.

Die Frequenz einer Welle wird durch ihre Quelle bestimmt. Eine Lautsprechermembran, die 440-mal pro Sekunde schwingt, erzeugt einen Ton mit 440 Hz. Eine Hand, die ein Seil zweimal pro Sekunde bewegt, erzeugt eine Welle mit 2 Hz. Beim Übergang einer Welle von einem Material in ein anderes bleibt die Frequenz laut OpenStax gewöhnlich gleich. Das neue Material wird nämlich im Takt des alten angeregt. Die Geschwindigkeit kann sich ändern. Dann muss sich auch die Wellenlänge anpassen.

Die Wellengleichung v = fλ

In einer Schwingungsdauer legt eine Welle genau eine Wellenlänge zurück: Den Platz eines Wellenbergs nimmt der nächste ein. Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit, also gilt für die Wellengeschwindigkeit v = λ/T. Weil 1/T die Frequenz ist, folgt v = fλ. OpenStax bezeichnet dies als grundlegenden Zusammenhang für alle Wellenarten: Wasserwellen, Schall, Licht und Saitenwellen. Das Rechenbeispiel greift die Möwe auf: 10.0 m Abstand zwischen den Wellenbergen und 5.00 s zwischen den Aufwärtsbewegungen ergeben v = 10.0 m ÷ 5.00 s = 2.00 m/s. Die Geschwindigkeit der Möwe beim Auf- und Abbewegen ändert sich ständig. Die 2.00 m/s beschreiben das wandernde Wellenmuster.

Was bestimmt die Geschwindigkeit?

Man könnte meinen, schnelleres Bewegen des Seils lasse die Welle schneller laufen. Das stimmt nicht. Im hier verwendeten nichtdispersiven Modell hängt die Geschwindigkeit vom Medium selbst ab: von seiner Steifigkeit oder Spannung und davon, wie schwer es ist. Auf einem Seil oder einer Gitarrensaite führt eine höhere Spannung zu einer schnelleren Welle. Deshalb klingt eine stärker gespannte Saite höher. In Luft hängt die Schallgeschwindigkeit von der Temperatur ab, aber kaum von der Frequenz. Bewegst du das Seil also schneller und erhöhst f, bleibt die Geschwindigkeit gleich und die Wellenlänge wird kürzer. Bewegst du es langsamer, werden die Wellen länger.

Damit lässt sich ein Muster in jedem Orchester erklären. OpenStax weist darauf hin, dass kleine Instrumente wie die Piccoloflöte hohe Töne und große wie die Tuba tiefe Töne erzeugen. Alle Töne breiten sich in derselben Luft gleich schnell aus. Eine hohe Frequenz muss daher mit einer kurzen Wellenlänge einhergehen und eine niedrige mit einer langen. Die Größe eines Instruments hängt mit den erzeugten Wellenlängen zusammen. Bei 30 °C hat Schall am unteren Ende des menschlichen Hörbereichs (20 Hz) eine Wellenlänge von etwa 17 m, am oberen Ende (20 000 Hz) etwa 1.7 cm.

Mit der Gleichung rechnen

Bei den meisten Wellenaufgaben sind zwei der drei Größen gegeben, die dritte ist gesucht. Umgestellt lautet die Gleichung f = v/λ beziehungsweise λ = v/f. Achte auf zusammenpassende Einheiten: Meter, Sekunden und Hertz ergeben Meter pro Sekunde. Dabei kommen schnell sehr große oder sehr kleine Zahlen vor. Licht bewegt sich mit etwa 3.00 × 10⁸ m/s. Ein Radiosender mit 105.1 MHz sendet daher Wellen mit einer Länge von 3.00 × 10⁸ ÷ 1.051 × 10⁸ ≈ 2.85 m aus. OpenStax rechnet dieses Beispiel im Kapitel über elektromagnetische Wellen vor. Dieselbe Gleichung liefert die Wellenlänge von 0.78 m für den Kammerton a, auf den Orchester ihre Instrumente stimmen.