edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Meetkunde en tekeningen

Goniometrie

Zes hoofdstukken over goniometrie in rechthoekige driehoeken en op de eenheidscirkel. Je benoemt de zijden van een rechthoekige driehoek, definieert sinus, cosinus en tangens als verhoudingen, leert de exacte waarden voor 30°, 45° en 60°, berekent driehoeken met één zijde en één hoek, meet onbereikbare hoogten, schakelt over op radialen en de eenheidscirkel en tekent de sinusgolf. In het goniometrielab kun je een rechthoekige driehoek vergroten of verkleinen, hoogten meten en een eenheidscirkel met de bijbehorende grafiek bekijken.

Voortgang

Over deze cursus

Goniometrie begon bij de sterrenkunde. MacTutor schrijft de eerste bekende tabel toe aan de Griekse astronoom Hipparchus, die rond 140 v.Chr. koorden tabuleerde: rechte lijnen binnen een cirkel die door een hoek worden afgesneden. Zijn tabellen zijn verloren gegaan, maar hij zou er twaalf boeken over hebben geschreven. Het woord sinus volgde een merkwaardige route. Aryabhata in India noemde het rond 500 jya. Arabische schrijvers maakten daar jiba van. Een latere verkeerde lezing als het Arabische jaib, een plooi, bracht Europese vertalers bij het Latijnse sinus, dat ook plooi betekent. Edmund Gunter gebruikte in 1624 als eerste de afkorting sin.

In zes hoofdstukken ga je van verhoudingen naar golven. Je definieert sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek, bepaalt exacte waarden voor 30°, 45° en 60° en berekent daarna hele driehoeken uit één zijde en één hoek. Bij Hoogten meten met hoeken en schaduwen vind je bijvoorbeeld een boomtop 25.2 m boven ooghoogte vanaf 30 m afstand bij 40°. Daarna volgen Radialen en de eenheidscirkel en Grafieken van sinus en cosinus. Het goniometrielab heeft drie delen. In een verstelbare rechthoekige driehoek lichten de twee zijden van elke verhouding op. Op een meetterrein richt je op een toren van 24 m tot je schatting klopt. En een eenheidscirkel is gekoppeld aan zijn grafiek, zodat één rondgang één golf van 2π lang tekent.

Bij het meten lees je het verhaal dat Thales de hoogte van een Egyptische piramide uit schaduwen zou hebben bepaald. MacTutor merkt op dat die verslagen eeuwen later zijn geschreven. Behandel ze dus als verhalen.

Voor je begint

Goniometrie bouwt voort op eigenschappen van hoeken en rechthoekige driehoeken. Daarom zijn Hoeken en Driehoeken een goede voorbereiding. De stelling van Pythagoras helpt in het hoofdstuk over exacte waarden. In de cursus lees je dat een rekenmachine sinus en cosinus direct geeft, zolang die op graden is ingesteld.

Als je klaar bent

Je benoemt overstaande, aanliggende en schuine zijde vanuit elke hoek, schrijft sin 45° als 1/√2 en cos 30° exact en lost een driehoek uit één zijde en hoek op. Je vindt een boomtop bij 40° op 30 m afstand ongeveer 25.2 m boven ooghoogte, zet 45° in radialen om en tekent sinus met periode 2π.

  1. 1Sinus, cosinus en tangensIn elke rechthoekige driehoek met een hoek van 35° is de zijde tegenover die hoek ongeveer 0.574 van de langste zijde, of de driehoek nu op een servet is getekend of over een dal ligt.
  2. 2Exacte waarden voor 30°, 45° en 60°Vouw een vierkant langs de diagonaal en je krijgt de exacte waarde van sin 45°: één zijde gedeeld door de diagonaal, 1/√2, ongeveer 0.7071.
  3. 3Rechthoekige driehoeken berekenenEén zijde en één scherpe hoek zijn genoeg om al het overige van een rechthoekige driehoek te vinden. Met zijde 7 tegenover een hoek van 30° is de schuine zijde precies 14.
  4. 4Hoogten meten met hoeken en schaduwenGa op 30 m van een boom staan, kijk onder 40° omhoog naar de top en de boom is ongeveer 25.2 m hoger dan je ogen. Geen ladder, geen meetlint langs de stam.
  5. 5Radialen en de eenheidscirkelLeg de straal van een cirkel langs de rand en de hoek die hij beslaat is één radiaal, ongeveer 57.3°. Iets meer dan zes daarvan gaan rond de cirkel.
  6. 6Grafieken van sinus en cosinusVolg de hoogte van een punt dat rond een cirkel beweegt en zet die uit tegen de hoek: één rondje levert één volledige golf op, met lengte 2π.

Verwante cursussen

  • Hoeken
    Vijf hoofdstukken over hoeken: meten met een gradenboog, de soorten benoemen, de paren die samen 90° en 180° zijn, de acht hoeken waar een lijn twee evenwijdige lijnen snijdt, en de hoekensom van driehoeken en veelhoeken. Het goniometrielab op elke pagina heeft een gradenboog, twee evenwijdige lijnen en een driehoek waarvan je de hoekpunten kunt verslepen.
  • Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke lichamen
    Voor een ontbijtgranendoos, een blik, een ijshoorntje en een bal bestaan formules voor hoeveel karton eromheen past en hoeveel erin kan. Vouw elk lichaam in 3D uit, verander de afmetingen met schuifknoppen en bekijk hoe de getallen veranderen.
  • Breuken · Getallen en rekenen
    Tien hoofdstukken over breuken, van gelijke delen van één geheel tot het delen van een breuk door een andere breuk. Elk hoofdstuk heeft tekeningen, een breukenstrook om in te kleuren, uitgewerkte voorbeelden en 10 tot 14 oefenvragen met de berekening erbij.
  • Lineaire vergelijkingen · Algebra
    Acht hoofdstukken over vergelijkingen zoals 3x + 5 = 20: wat een oplossing is, de vier eigenschappen van gelijkheid, vergelijkingen met de variabele aan beide kanten, de algemene aanpak, breuken en kommagetallen, en formules. In een grafieklab zie je elk lid van een vergelijking als lijn, zodat je de oplossing kunt zien waar de lijnen elkaar snijden.
Bronnen van deze cursus (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions).

Geraadpleegd: 2026-10-17