Exacte waarden voor 30°, 45° en 60°
Vouw een vierkant langs de diagonaal en je krijgt de exacte waarde van sin 45°: één zijde gedeeld door de diagonaal, 1/√2, ongeveer 0.7071.
De 45-45-90-driehoek
De meeste sinussen en cosinussen zijn lange kommagetallen, maar drie hoeken hebben waarden die je exact kunt schrijven. Ze komen voortdurend voor in meetkunde, natuurkunde en ontwerp. De eerste komt uit een vierkant met zijde 1. De diagonaal verdeelt het in twee rechthoekige driehoeken met hoeken 45°, 45° en 90°. Beide rechthoekszijden zijn 1 en volgens de stelling van Pythagoras is de schuine zijde √(1² + 1²) = √2. OpenStax geeft het algemene patroon: de zijden van een 45-45-90-driehoek staan in de verhouding s, s, √2 s.
Lees de verhoudingen af uit deze driehoek: sin 45° = 1/√2 en cos 45° = 1/√2. Door teller en noemer met √2 te vermenigvuldigen krijg je de nettere vorm √2/2, ongeveer 0.7071. De twee rechthoekszijden zijn gelijk, dus tan 45° = 1/1 = 1. Een dak of helling die 1 stijgt voor elke 1 horizontaal heeft een hellingshoek van 45°.
De 30-60-90-driehoek
De tweede driehoek komt uit een gelijkzijdige driehoek met zijde 2. Alle hoeken zijn 60°. Trek een lijn vanaf de top recht omlaag naar het midden van de basis: hij verdeelt de driehoek in twee rechthoekige driehoeken met hoeken 30°, 60° en 90°. Elk heeft schuine zijde 2 en korte zijde 1, de helft van de basis. De hoge zijde is √(2² − 1²) = √3. OpenStax geeft het patroon s, √3 s, 2s, met de korte zijde tegenover 30° en de lange rechthoekszijde tegenover 60°.
Vanuit 30° is de overstaande zijde 1 en de aanliggende zijde √3, dus sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660 en tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774. Vanuit 60° wisselen de twee rechthoekszijden van rol: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 en tan 60° = √3 ≈ 1.7321.
| θ | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Cofuncties
Merk op dat sin 30° gelijk is aan cos 60° en sin 60° aan cos 30°. Dat is geen toeval. De twee scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek zijn samen 90°, en de zijde tegenover de ene ligt naast de andere. Dus de sinus van een hoek is altijd de cosinus van zijn complement: sin θ = cos(90° − θ). OpenStax noemt dit de cofunctie-identiteit. Dat betekent dat cos 34° en sin 56° zonder enige berekening hetzelfde getal zijn.
Exacte waarden zijn om twee redenen het kennen waard. Je kunt er een opgave zonder rekenmachine mee afronden en je houdt antwoorden exact: een 30-60-90-driehoek met korte zijde 5 heeft een lange rechthoekszijde van 5√3, precies de juiste waarde, terwijl 8.66 al afgerond is. Dezelfde twee driehoeken hebben de vorm van de twee tekendriehoeken in een meetkundeset: één met hoeken van 45° en één met hoeken van 30° en 60°. Daarom worden deze hoeken zo vaak in tekeningen gebruikt.
- Wat is de exacte waarde van sin 45°?
- √2/2
- 1/2
- √3/2
- 1
- Wat is de exacte waarde van cos 30°?
- √3/2
- 1/2
- √2/2
- √3
- Wat is de exacte waarde van tan 60°?
- √3
- √3/3
- 1
- 1/2
- Een 45-45-90-driehoek heeft rechthoekszijden van 7. Wat is de schuine zijde op 2 decimalen?
- Een 30-60-90-driehoek heeft korte zijde 5. Wat is de schuine zijde?
- Dezelfde driehoek. Wat is de lange rechthoekszijde op 2 decimalen?
- Opgave van OpenStax: een rechthoekige driehoek heeft een hoek van 60° en schuine zijde 20. Wat is de zijde tegenover 60° op 2 decimalen?
- cos 34° = sin ?°
- Als cos θ = 5/13, wat is sin(90° − θ) als kommagetal op 4 decimalen?
- sin 30° + cos 60°?
- (sin 45°)² ?
- 45-45-90: zijden s, s, √2 s; sin 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = 1.
- 30-60-90: zijden s, √3 s, 2s; sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3.
- sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3.
- Cofunctie: sin θ = cos(90° − θ).
Bronnen van deze cursus (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions).
Geraadpleegd: 2026-10-17