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ホーム›図形と作図›三角比

30°、45°、60°の正確な値

正方形を対角線で折ると、sin 45° の正確な値がわかります。一辺÷対角線で 1/√2、約 0.7071 です。

45°-45°-90° の三角形

たいていのサインやコサインは長い小数ですが、三つの角は値を正確に書くことができ、幾何・物理・デザインにしょっちゅう出てきます。一つ目は一辺が 1 の正方形から得られます。対角線で正方形は、角が 45°、45°、90° の二つの直角三角形に分かれます。直角をはさむ二辺はどちらも 1 で、三平方の定理より斜辺は √(1² + 1²) = √2 です。OpenStax は一般的なきまりを示しています。45-45-90 の三角形の辺の比は s、s、√2 s です。

この三角形から比を読み取ると、sin 45° = 1/√2、cos 45° = 1/√2 です。分母と分子に √2 をかけると、すっきりした形 √2/2（約 0.7071）になります。直角をはさむ二辺が等しいので、tan 45° = 1/1 = 1 です。横に 1 進むごとに 1 上がる屋根やスロープの傾きは 45° です。

30°-60°-90° の三角形

二つ目の三角形は、一辺が 2 の正三角形から得られます。角はすべて 60° です。頂点から底辺の真ん中にまっすぐ線を下ろすと、正三角形は角が 30°、60°、90° の二つの直角三角形に分かれます。どちらも斜辺は 2、短い辺は底辺の半分の 1 です。高さの辺は √(2² − 1²) = √3 です。OpenStax はきまりを s、√3 s、2s と示しています。短い辺は 30° の向かい、長いほうの直角をはさむ辺は 60° の向かいです。

正方形の半分（左）と正三角形の半分（右）。

30° から見ると、対辺は 1、隣辺は √3 なので、sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660、tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774 です。60° から見ると二辺の役割が入れかわり、sin 60° = √3/2、cos 60° = 1/2、tan 60° = √3 ≈ 1.7321 です。

θsin θcos θtan θ
30°1/2√3/2√3/3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
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「30°、45°、60°のみ」をオンにすると、角は三つの特別な角の間を飛び、パネルには小数の横に正確な値が表示されます。

余角の関係

sin 30° と cos 60°、sin 60° と cos 30° が等しいことに気づきましたか。これは偶然ではありません。直角三角形の二つの鋭角の和は 90° で、一方の角の対辺はもう一方の角の隣辺です。だから、ある角のサインはいつもその余角のコサインです：sin θ = cos(90° − θ)。OpenStax はこれを余角の公式（cofunction identity）と呼んでいます。計算しなくても cos 34° と sin 56° が同じ数だとわかるのです。

0°、30°、45°、60°、90° のサインには規則があります。√0/2、√1/2、√2/2、√3/2、√4/2、つまり 0、1/2、√2/2、√3/2、1 です。コサインは同じ列を逆から読んだものです。

正確な値を知っておくとよい理由は二つあります。電卓なしで問題を解き終えられること、そして答えを正確なまま保てることです。短い辺が 5 の 30-60-90 の三角形の長いほうの辺は 5√3 で、これは正確な値ですが、8.66 はすでに四捨五入されています。この二つの三角形は、45° の角をもつものと 30° と 60° の角をもつもの、二枚組の三角定規の形でもあります。図面でこれらの角がよく使われるのはそのためです。

  1. sin 45° の正確な値は？
    • √2/2
    • 1/2
    • √3/2
    • 1
  2. cos 30° の正確な値は？
    • √3/2
    • 1/2
    • √2/2
    • √3
  3. tan 60° の正確な値は？
    • √3
    • √3/3
    • 1
    • 1/2
  4. 45-45-90 の三角形の直角をはさむ辺が 7 です。斜辺を小数第2位まで答えましょう。
  5. 30-60-90 の三角形の短い辺が 5 です。斜辺は？
  6. 同じ三角形。長いほうの直角をはさむ辺を小数第2位まで答えましょう。
  7. OpenStax の練習問題：直角三角形の一つの角が 60°、斜辺が 20 です。60° の向かいの辺を小数第2位まで答えましょう。
  8. cos 34° = sin ?°
  9. cos θ = 5/13 のとき、sin(90° − θ) を小数第4位まで答えましょう。
  10. sin 30° + cos 60° は？
  11. (sin 45°)² は？
ポイント
  • 45-45-90：辺 s、s、√2 s。sin 45° = cos 45° = √2/2、tan 45° = 1。
  • 30-60-90：辺 s、√3 s、2s。sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2、tan 30° = √3/3。
  • sin 60° = √3/2、cos 60° = 1/2、tan 60° = √3。
  • 余角の公式：sin θ = cos(90° − θ)。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

確認日: 2026-10-17