Genaue Werte für 30°, 45° und 60°

Falte ein Quadrat entlang seiner Diagonale, und du erhältst den genauen Wert von sin 45°: eine Seite durch die Diagonale, 1/√2, etwa 0.7071.

Das 45-45-90-Dreieck

Die meisten Sinus- und Kosinuswerte sind lange Dezimalzahlen, aber drei Winkel haben Werte, die man genau aufschreiben kann, und sie tauchen ständig in Geometrie, Physik und Gestaltung auf. Der erste stammt aus einem Quadrat mit der Seitenlänge 1. Seine Diagonale teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln 45°, 45° und 90°. Beide Katheten sind 1, und nach dem Satz des Pythagoras ist die Hypotenuse √(1² + 1²) = √2. OpenStax nennt das allgemeine Muster: Die Seiten eines 45-45-90-Dreiecks stehen im Verhältnis s, s, √2 s.

Die Verhältnisse liest man an diesem Dreieck ab: sin 45° = 1/√2 und cos 45° = 1/√2. Erweitert man mit √2, erhält man die ordentlichere Form √2/2, etwa 0.7071. Die beiden Katheten sind gleich lang, also ist tan 45° = 1/1 = 1. Ein Dach oder eine Rampe, die auf 1 waagerecht um 1 steigt, hat eine Neigung von 45°.

Das 30-60-90-Dreieck

Das zweite Dreieck stammt aus einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 2. Alle seine Winkel sind 60°. Fälle von der Spitze ein Lot genau auf die Mitte der Grundseite: Es teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln 30°, 60° und 90°. Jedes hat die Hypotenuse 2 und die kurze Seite 1, die halbe Grundseite. Die hohe Seite ist √(2² − 1²) = √3. OpenStax nennt das Muster s, √3 s, 2s, wobei die kurze Seite 30° gegenüberliegt und die lange Kathete 60°.

Von 30° aus ist die Gegenkathete 1 und die Ankathete √3, also sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660 und tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774. Von 60° aus tauschen die beiden Katheten ihre Rollen: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 und tan 60° = √3 ≈ 1.7321.

Kofunktionen

Beachte, dass sin 30° gleich cos 60° ist und sin 60° gleich cos 30°. Das ist kein Zufall. Die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ergeben zusammen 90°, und die Gegenkathete des einen ist die Ankathete des anderen. Der Sinus eines Winkels ist also immer der Kosinus seines Komplementwinkels: sin θ = cos(90° − θ). OpenStax nennt das die Kofunktionsidentität. Sie bedeutet, dass cos 34° und sin 56° ohne jede Rechnung dieselbe Zahl sind.

Genaue Werte zu kennen lohnt sich aus zwei Gründen. Man kann damit eine Aufgabe ohne Taschenrechner zu Ende rechnen, und die Antworten bleiben genau: Ein 30-60-90-Dreieck mit der kurzen Seite 5 hat eine lange Kathete von 5√3, und das ist genau ihr Wert, während 8.66 schon gerundet ist. Dieselben beiden Dreiecke haben die Form der beiden Geodreiecke beziehungsweise Zeichendreiecke in einem Geometrieset, eines mit 45°-Ecken und eines mit 30°- und 60°-Ecken, deshalb kommen diese Winkel in Zeichnungen so oft vor.