Rechtwinklige Dreiecke berechnen

Eine Seite und ein spitzer Winkel genügen, um alles andere an einem rechtwinkligen Dreieck zu bestimmen. Liegt die Seite 7 einem 30°-Winkel gegenüber, ist die Hypotenuse genau 14.

Eine fehlende Seite finden

OpenStax sagt es ganz deutlich: Ihre eigentliche Stärke zeigt die Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, wenn man einen Winkel kennt, aber nicht alle Seiten. Die Methode hat drei Schritte. Wähle zuerst das Verhältnis, das die gesuchte Seite und eine bekannte Seite enthält. Stell dann die Gleichung mit dem bekannten Winkel auf. Löse sie schließlich nach der Unbekannten auf. Nimm das Beispiel aus OpenStax selbst: Winkel 30°, Gegenkathete 7, Ankathete a unbekannt. Der Tangens verbindet Gegenkathete und Ankathete, also tan 30° = 7/a, umgestellt a = 7 / tan 30° ≈ 12.1. Für die Hypotenuse c verbindet der Sinus Gegenkathete und Hypotenuse: sin 30° = 7/c, also c = 7 / sin 30° = 14.

Achte darauf, wo die Unbekannte steht. Steht sie im Zähler, multiplizierst du: Eine 5 m lange Leiter, die im Winkel von 75° zum Boden lehnt, reicht bis zu einer Höhe von 5 sin 75° ≈ 4.83 m, und ihr Fuß steht 5 cos 75° ≈ 1.29 m von der Wand entfernt. Steht die Unbekannte im Nenner, dividierst du, wie bei 7 / tan 30° oben. Eine schnelle Kontrolle: Die Hypotenuse muss länger herauskommen als beide Katheten, und die Seite gegenüber dem größeren spitzen Winkel muss die längere Kathete sein.

Einen fehlenden Winkel finden

Manchmal kennt man zwei Seiten und sucht den Winkel. Dann rechnet man ein Verhältnis mit einer Umkehrfunktion rückwärts, geschrieben sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹ (auch Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens genannt). Ist die Gegenkathete 3 und die Ankathete 4, dann ist tan θ = 3/4 = 0.75 und θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°. Der andere spitze Winkel ist 90 − 36.87 = 53.13°. Die −1 ist hier ein Name, keine Potenz: sin⁻¹ x bedeutet „der Winkel, dessen Sinus x ist“, nicht 1 / sin x.

Das ganze Dreieck berechnen

Ein rechtwinkliges Dreieck zu berechnen heißt, alle drei Seiten und beide spitzen Winkel zu bestimmen. Kennst du zwei Seiten, nimm den Satz des Pythagoras für die dritte und eine Umkehrfunktion für einen Winkel; der letzte Winkel ist 90° minus den ersten. Kennst du eine Seite und einen Winkel, ist der andere spitze Winkel 90° minus den gegebenen, und zwei Verhältnisse liefern die übrigen Seiten. Mit den Katheten 6 und 8 zum Beispiel ist die Hypotenuse √(36 + 64) = 10, der Winkel gegenüber 6 ist tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87° und der andere Winkel etwa 53.13°. Es ist das mit 2 vergrößerte 3-4-5-Dreieck, also stimmen die Winkel überein.

Es hilft, eine Antwort mit einem zweiten Verhältnis zu prüfen. Im Beispiel aus OpenStax kamen die Seiten 7, etwa 12.12 und 14 heraus. Dann sollte cos 30° gleich 12.12 / 14 ≈ 0.866 sein, und das stimmt: cos 30° = √3/2 ≈ 0.866. Eine Abweichung bedeutet, dass eine der Seiten mit dem falschen Verhältnis bestimmt wurde.