Sinus, Kosinus und Tangens

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit einem 35°-Winkel ist die Seite gegenüber diesem Winkel etwa 0.574 so lang wie die längste Seite, egal ob das Dreieck auf eine Serviette gezeichnet ist oder sich über ein Tal spannt.

Die Seiten von einem Winkel aus benennen

Trigonometrie beginnt mit einem rechtwinkligen Dreieck und einem seiner beiden spitzen Winkel, meist θ (Theta) genannt. Die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel, ist die Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten bekommen ihre Namen von θ. Die Seite, die an θ liegt und nicht die Hypotenuse ist, ist die Ankathete. Die Seite, die θ im Dreieck gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Nimmst du stattdessen den anderen spitzen Winkel, tauschen diese beiden Seiten ihre Namen, worauf OpenStax ausdrücklich hinweist: Die Ankathete des einen spitzen Winkels ist die Gegenkathete des anderen.

Drei Verhältnisse

Teilt man eine Seite durch eine andere, erhält man ein Verhältnis. Drei dieser Verhältnisse haben Namen. Der Sinus von θ ist Gegenkathete durch Hypotenuse. Der Kosinus von θ ist Ankathete durch Hypotenuse. Der Tangens von θ ist Gegenkathete durch Ankathete. OpenStax nennt dafür die englische Eselsbrücke SohCahToa (Sine = Opposite/Hypotenuse, Cosine = Adjacent/Hypotenuse, Tangent = Opposite/Adjacent); auf Deutsch heißt das sin = GK/Hyp, cos = AK/Hyp, tan = GK/AK. In einem Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 hat der Winkel gegenüber der Seite 4 die Werte sin = 4/5 = 0.8, cos = 3/5 = 0.6 und tan = 4/3, etwa 1.333.

Warum der Winkel allein das Verhältnis bestimmt

Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben 35°-Winkel, ein kleines und ein großes. Ihre drei Winkel stimmen überein (35°, 90° und 55°), also sind sie ähnlich: Das große ist eine vergrößerte Kopie des kleinen. Beim Vergrößern wird jede Seite mit derselben Zahl multipliziert, und diese Zahl kürzt sich in jedem Verhältnis zweier Seiten heraus. Deshalb ist sin 35° eine einzige Zahl, etwa 0.5736, egal wie groß das Dreieck ist. Genau das erlaubt es einem Taschenrechner, sie zu speichern. Halte im Labor θ fest und zieh am Regler für die Hypotenuse: Jede Länge ändert sich, die Verhältnisse nicht.

Ein Taschenrechner liefert diese Werte direkt, aber prüfe, ob er auf Grad eingestellt ist (oft als DEG angezeigt). Im Bogenmaß-Modus gibt sin 30 etwa −0.988 statt 0.5 aus, weil er die 30 als 30 Radiant liest. OpenStax definiert außerdem drei Kehrwert-Verhältnisse: Sekans = Hypotenuse / Ankathete, Kosekans = Hypotenuse / Gegenkathete und Kotangens = Ankathete / Gegenkathete. Sie sind die ersten drei auf den Kopf gestellt, deshalb arbeitet dieser Kurs mit Sinus, Kosinus und Tangens.