Sinus, cosinus et tangente

Dans tout triangle rectangle qui a un angle de 35°, le côté opposé à cet angle mesure environ 0.574 fois le plus long côté, que le triangle soit dessiné sur une serviette ou au travers d'une vallée.

Nommer les côtés à partir d'un angle

La trigonométrie commence avec un triangle rectangle et l'un de ses deux angles aigus, souvent noté θ (thêta). Le plus long côté, en face de l'angle droit, est l'hypoténuse. Les deux autres côtés tirent leur nom de θ. Le côté qui touche θ et qui n'est pas l'hypoténuse est le côté adjacent, du latin « situé à côté ». Le côté situé en face de θ, de l'autre côté du triangle, est le côté opposé. Choisis plutôt l'autre angle aigu et les noms de ces deux côtés s'échangent, comme le souligne OpenStax : le côté adjacent à un angle aigu est opposé à l'autre.

Trois rapports

Divise un côté par un autre et tu obtiens un rapport. Trois de ces rapports ont un nom. Le sinus de θ est le côté opposé divisé par l'hypoténuse. Le cosinus de θ est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse. La tangente de θ est le côté opposé divisé par le côté adjacent. OpenStax donne le moyen mnémotechnique SohCahToa : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Dans un triangle de côtés 3, 4 et 5, l'angle opposé au côté 4 a sin = 4/5 = 0.8, cos = 3/5 = 0.6 et tan = 4/3, environ 1.333.

Pourquoi l'angle suffit à fixer le rapport

Trace deux triangles rectangles avec le même angle de 35°, un petit et un grand. Leurs trois angles sont égaux (35°, 90° et 55°), ils sont donc semblables : le grand est un agrandissement du petit. Un agrandissement multiplie chaque côté par le même nombre, et ce nombre se simplifie dans tout rapport de deux côtés. Ainsi, sin 35° est un nombre unique, environ 0.5736, quelle que soit la taille du triangle. C'est ce qui permet à une calculatrice de le garder en mémoire. Dans le laboratoire, garde θ fixe et fais glisser le curseur de l'hypoténuse : toutes les longueurs changent, pas les rapports.

Une calculatrice donne directement ces valeurs, mais vérifie qu'elle est en mode degrés (souvent affiché DEG). En mode radians, sin 30 donne environ −0.988 au lieu de 0.5, car elle lit 30 comme 30 radians. OpenStax définit aussi trois rapports inverses : sécante = hypoténuse / adjacent, cosécante = hypoténuse / opposé et cotangente = adjacent / opposé. Ce sont les trois premiers renversés, donc ce cours travaille avec le sinus, le cosinus et la tangente.