Courbes du sinus et du cosinus
Suis la hauteur d'un point qui tourne sur un cercle et trace-la en fonction de l'angle : un tour dessine une onde complète, de longueur 2π.
Du cercle à l'onde
Dans le chapitre précédent, le sinus d'un angle était la hauteur d'un point sur le cercle trigonométrique. Fais maintenant de l'angle l'axe horizontal d'un graphique, mesuré en radians, et place cette hauteur au-dessus. En 0, le point est en (1, 0), à la hauteur 0. Il monte à la hauteur 1 en π/2, revient à 0 en π, descend à −1 en 3π/2 et revient à 0 en 2π, son point de départ. La courbe obtenue est la sinusoïde. Continue à tourner et la même forme se répète.
Fais glisser pour tourner. Fais défiler ou pince pour zoomer.
Période et ensemble des valeurs
Precalculus d'OpenStax décrit les caractéristiques principales. Le graphique se répète au bout de 2π : le sinus est une fonction périodique de période 2π, sin(x + 2π) = sin x pour tout x. Les valeurs ne dépassent jamais 1 et ne descendent jamais sous −1, car le point reste sur un cercle de rayon 1. L'onde coupe l'axe à chaque multiple de π, atteint son maximum en π/2 plus un nombre entier de tours et son minimum en 3π/2 plus un nombre entier de tours.
Le cosinus est la coordonnée horizontale, donc sa courbe commence à 1 pour x = 0, descend à 0 en π/2 et atteint −1 en π. C'est la même onde que le sinus, décalée d'un quart de tour vers la gauche : cos x = sin(x + π/2). Active Courbe du cosinus dans le laboratoire pour voir les deux courbes côte à côte, toujours décalées d'un quart de période.
Étirer l'onde
Precalculus écrit la fonction sinusoïdale générale sous la forme y = A sin(Bx − C) + D. Ici, seuls A et B comptent. Le nombre A étire l'onde verticalement. Sa valeur absolue |A| est l'amplitude, la hauteur d'un sommet au-dessus de la ligne du milieu. Ainsi y = 3 sin x oscille entre 3 et −3. Le nombre B comprime l'onde horizontalement : la période devient P = 2π/|B|. Avec B = 2, l'onde se répète tous les π, deux fois plus souvent. Avec B = 1/2, il lui faut 4π, environ 12.57, pour se répéter. Un A négatif retourne l'onde sans changer son amplitude.
- vers 140 av. J.-C.: Hipparque établit la première table de cordes connue.
- vers 500: Aryabhata dresse une table de demi-cordes et appelle le sinus jya.
- 628: Brahmagupta reproduit la même table de sinus.
- 980: Abu'l-Wafa connaît sin 2x = 2 sin x cos x.
- 1533: Le De triangulis de Regiomontanus, écrit vers 1464, est publié.
- 1583: Thomas Fincke utilise pour la première fois le nom tangente.
- 1624: Edmund Gunter écrit pour la première fois l'abréviation sin.
- Période de y = sin x, à 4 décimales ?
- Plus grande valeur de sin x ?
- Pour quel x entre 0 et 2π sin x atteint-il −1 ?
- 3π/2
- π
- π/2
- 2π
- cos 0 ?
- Amplitude de y = 3 sin x ?
- Amplitude de y = −2 sin x ?
- Période de y = sin 2x, à 4 décimales ?
- Période de y = sin(x/2), à 2 décimales ?
- cos x est égal à :
- sin(x + π/2)
- sin(x + π)
- −sin x
- sin 2x
- Le mot latin sinus, qui a donné notre sinus, veut dire :
- un pli
- une corde
- un cercle
- une ombre
- Qui a utilisé le premier l'abréviation sin, et en quelle année ? Donne l'année.
- sin x représente la hauteur d'un point du cercle trigonométrique en fonction de l'angle.
- Période 2π. Valeurs entre −1 et 1. Zéros aux multiples de π.
- cos x = sin(x + π/2) : la même onde avec un quart de tour d'avance.
- y = A sin(Bx) : amplitude |A|, période 2π/|B|.
- jya → jiba → jaib → sinus. sin écrit pour la première fois par Gunter en 1624.
Sources de ce cours (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Consulté le: 2026-10-17