Grafici di seno e coseno
Segui l'altezza di un punto che gira su una circonferenza e riportala in funzione dell'angolo: un giro disegna un'onda completa, lunga 2π.
Dalla circonferenza all'onda
Nell'unità precedente il seno di un angolo era l'altezza di un punto sulla circonferenza goniometrica. Ora fai dell'angolo l'asse orizzontale di un grafico, misurato in radianti, e riporta sopra quell'altezza. A 0 il punto è in (1, 0), altezza 0. Sale fino all'altezza 1 a π/2, torna a 0 a π, scende a −1 a 3π/2 e torna a 0 a 2π, dove era partito. La curva che ottieni è la sinusoide. Continua a girare e la stessa forma si ripete.
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Periodo e insieme dei valori
OpenStax Precalculus descrive le caratteristiche principali. Il grafico si ripete dopo 2π, quindi il seno è una funzione periodica di periodo 2π: sin(x + 2π) = sin x per ogni x. I valori non superano mai 1 e non scendono mai sotto −1, perché il punto resta su una circonferenza di raggio 1. L'onda taglia l'asse in ogni multiplo di π, ha i massimi in π/2 più giri interi e i minimi in 3π/2 più giri interi.
Il coseno è la coordinata orizzontale, quindi il suo grafico parte da 1 per x = 0, scende a 0 a π/2 e arriva a −1 a π. È la stessa onda del seno, spostata di un quarto di giro a sinistra: cos x = sin(x + π/2). Attiva Grafico del coseno nel laboratorio per vedere le due curve affiancate, sempre a un quarto di periodo di distanza.
Deformare l'onda
Precalculus scrive la funzione sinusoidale generale come y = A sin(Bx − C) + D. Qui contano solo A e B. Il numero A allunga l'onda in verticale; il suo valore assoluto |A| è l'ampiezza, l'altezza di un massimo sopra la linea media. Quindi y = 3 sin x oscilla tra 3 e −3. Il numero B comprime l'onda in orizzontale: il periodo diventa P = 2π/|B|. Con B = 2 l'onda si ripete ogni π, due volte più spesso; con B = 1/2 impiega 4π, circa 12.57, per ripetersi. Un A negativo capovolge l'onda senza cambiarne l'ampiezza.
- circa 140 a.C.: Ipparco compila la prima tavola delle corde conosciuta.
- circa 500: Aryabhata compila tavole di semicorde e chiama il seno jya.
- 628: Brahmagupta riporta la stessa tavola dei seni.
- 980: Abu'l-Wafa conosce sin 2x = 2 sin x cos x.
- 1533: Viene pubblicato il De triangulis di Regiomontano, scritto intorno al 1464.
- 1583: Thomas Fincke usa per primo il nome tangente.
- 1624: Edmund Gunter scrive per primo l'abbreviazione sin.
- Periodo di y = sin x, con 4 cifre decimali?
- Valore massimo di sin x?
- Per quale x tra 0 e 2π sin x vale −1?
- 3π/2
- π
- π/2
- 2π
- cos 0?
- Ampiezza di y = 3 sin x?
- Ampiezza di y = −2 sin x?
- Periodo di y = sin 2x, con 4 cifre decimali?
- Periodo di y = sin(x/2), con 2 cifre decimali?
- cos x è uguale a:
- sin(x + π/2)
- sin(x + π)
- −sin x
- sin 2x
- La parola latina sinus, da cui viene seno, significa:
- una piega
- una corda
- un cerchio
- un'ombra
- Chi usò per primo l'abbreviazione sin, e in che anno? Scrivi l'anno.
- sin x riporta l'altezza di un punto sulla circonferenza goniometrica in funzione dell'angolo.
- Periodo 2π; valori tra −1 e 1; zeri nei multipli di π.
- cos x = sin(x + π/2): la stessa onda in anticipo di un quarto di giro.
- y = A sin(Bx): ampiezza |A|, periodo 2π/|B|.
- jya → jiba → jaib → sinus; sin scritto per primo da Gunter nel 1624.
Fonti di questo corso (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Consultato il: 2026-10-17