Misurare altezze con angoli e ombre

Mettiti a 30 m da un albero, guarda la cima con un angolo di 40° verso l'alto, e l'albero supera i tuoi occhi di circa 25.2 m. Niente scale, niente metro lungo il tronco.

Angoli di elevazione e di depressione

OpenStax definisce l'angolo di elevazione come l'angolo tra l'orizzontale e la tua linea di vista quando guardi in alto verso qualcosa. Guardando in basso da un'altezza, l'angolo tra l'orizzontale e la linea di vista è l'angolo di depressione. Entrambi si misurano dall'orizzontale, mai dalla verticale. I topografi li misurano con uno strumento su treppiede; per un progetto scolastico bastano un goniometro con un filo a piombo o un'app sul telefono.

L'altezza da un solo angolo

Allontanati di una distanza misurata d dalla base di un albero e misura l'angolo di elevazione θ fino alla cima. La linea orizzontale all'altezza degli occhi, il tronco verticale e la linea di vista formano un triangolo rettangolo. La distanza d è il cateto adiacente a θ, l'altezza sopra gli occhi è il cateto opposto, quindi la tangente li lega: altezza sopra gli occhi = d tan θ. OpenStax risolve così il caso di un albero a 30 piedi con un angolo di 57°, e ottiene circa 46.2 piedi. Non dimenticare l'altezza dei tuoi occhi. A 30 m e 40°, con gli occhi a 1.5 m da terra, l'albero è alto 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m.

Guardare in basso

Da una finestra a 12 m sopra la strada vedi un'auto parcheggiata con un angolo di depressione di 25°. La linea orizzontale alla finestra e la strada sono parallele, e la tua linea di vista le taglia entrambe, quindi l'angolo di depressione è uguale all'angolo di elevazione dall'auto fino a te: sono angoli alterni interni. L'auto si trova quindi a 12 / tan 25° ≈ 25.73 m dalla base dell'edificio. Con due angoli dalla stessa finestra puoi misurare un'intera torre dall'altra parte della strada. Se dista 50 m, l'elevazione verso la cima è 30° e la depressione verso la base è 20°, la torre è alta 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m.

Ombre

Entrambe le versioni funzionano perché il Sole è così lontano che i suoi raggi arrivano paralleli. Ogni oggetto verticale ha allora lo stesso rapporto tra altezza e ombra, che è la tangente dell'altezza del Sole. Se un bastone di 1 m proietta un'ombra di 1.6 m e una torre proietta un'ombra di 40 m nello stesso momento, la torre è alta 40 × 1/1.6 = 25 m. Nel momento speciale in cui il Sole è alto 45°, tan 45° = 1 e ogni ombra è lunga esattamente quanto il suo oggetto: la prima versione della storia.