Mesurer des hauteurs avec des angles et des ombres

Place-toi à 30 m d'un arbre, lève les yeux de 40° vers son sommet : l'arbre dépasse tes yeux d'environ 25.2 m. Sans échelle, sans mètre ruban le long du tronc.

Angles d'élévation et de dépression

OpenStax définit l'angle d'élévation comme l'angle entre l'horizontale et ta ligne de visée quand tu regardes quelque chose vers le haut. Quand on regarde vers le bas depuis une hauteur, l'angle entre l'horizontale et la ligne de visée est l'angle de dépression. Les deux se mesurent à partir de l'horizontale, jamais de la verticale. Les géomètres les mesurent avec un instrument sur trépied. Pour un projet scolaire, un rapporteur muni d'un fil lesté ou une application de téléphone suffit.

La hauteur à partir d'un angle

Éloigne-toi d'une distance mesurée d du pied d'un arbre et mesure l'angle d'élévation θ vers son sommet. La ligne horizontale partant de ton œil, le tronc vertical et ta ligne de visée forment un triangle rectangle. La distance d est le côté adjacent à θ, la hauteur au-dessus de ton œil est le côté opposé, et la tangente les relie : hauteur au-dessus de l'œil = d tan θ. OpenStax traite l'exemple d'un arbre à 30 pieds avec un angle de 57°, ce qui donne environ 46.2 pieds. N'oublie pas la hauteur de tes propres yeux. À 30 m et 40°, avec les yeux à 1.5 m du sol, l'arbre mesure 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m.

Regarder vers le bas

D'une fenêtre située à 12 m au-dessus de la rue, tu vois une voiture garée sous un angle de dépression de 25°. La ligne horizontale à la fenêtre et la rue sont parallèles, et ta ligne de visée coupe les deux : l'angle de dépression est donc égal à l'angle d'élévation de la voiture vers toi, car ce sont des angles alternes-internes. La voiture est donc à 12 / tan 25° ≈ 25.73 m du pied de l'immeuble. Avec deux angles mesurés depuis une même fenêtre, tu peux mesurer toute une tour de l'autre côté de la rue. Si elle est à 50 m, que l'angle d'élévation vers son sommet est de 30° et l'angle de dépression vers son pied de 20°, la tour mesure 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m.

Les ombres

Les deux versions marchent parce que le Soleil est si loin que ses rayons arrivent parallèles. Tous les objets verticaux ont alors le même rapport entre leur hauteur et leur ombre, qui est la tangente de la hauteur du Soleil. Si un bâton de 1 m projette une ombre de 1.6 m et qu'une tour projette au même moment une ombre de 40 m, la tour mesure 40 × 1/1.6 = 25 m. Au moment particulier où le Soleil est à 45° de hauteur, tan 45° = 1 et chaque ombre est exactement aussi longue que son objet : c'est la première version de l'histoire.