Hoogten meten met hoeken en schaduwen

Ga op 30 m van een boom staan, kijk onder 40° omhoog naar de top en de boom is ongeveer 25.2 m hoger dan je ogen. Geen ladder, geen meetlint langs de stam.

Elevatiehoeken en depressiehoeken

OpenStax definieert de elevatiehoek als de hoek tussen de horizontaal en je kijklijn wanneer je ergens naar omhoog kijkt. Kijk je vanaf een hoogte omlaag, dan heet de hoek tussen de horizontaal en de kijklijn de depressiehoek. Beide worden gemeten vanaf de horizontaal, nooit vanaf de verticaal. Landmeters meten ze met een instrument op een statief; een gradenboog met een verzwaard touwtje of een telefoonapp werkt voor een schoolproject.

Hoogte uit één hoek

Loop een gemeten afstand d vanaf de voet van een boom en meet de elevatiehoek θ naar de top. De horizontale lijn vanuit je oog, de verticale stam en je kijklijn vormen een rechthoekige driehoek. Afstand d is de aanliggende zijde van θ en de hoogte boven je oog is de overstaande, dus de tangens verbindt ze: hoogte boven oog = d tan θ. OpenStax berekent dit voor een boom op 30 voet afstand bij 57°, wat ongeveer 46.2 voet geeft. Vergeet je eigen ooghoogte niet. Bij 30 m en 40°, met je ogen 1.5 m boven de grond, is de boom 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m hoog.

Omlaag kijken

Vanuit een raam 12 m boven de straat zie je een geparkeerde auto onder een depressiehoek van 25°. De horizontale lijn bij het raam en de straat zijn evenwijdig en je kijklijn snijdt beide, dus de depressiehoek is gelijk aan de elevatiehoek van de auto naar jou: het zijn Z-hoeken. De auto staat daarom 12 / tan 25° ≈ 25.73 m van de voet van het gebouw. Met twee hoeken vanuit één raam kun je een hele toren aan de overkant meten. Staat hij op 50 m afstand, met een elevatie naar de top van 30° en een depressie naar de voet van 20°, dan is de toren 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m hoog.

Schaduwen

Beide versies werken doordat de zon zo ver weg staat dat haar stralen evenwijdig aankomen. Elk rechtopstaand voorwerp heeft dan dezelfde verhouding tussen hoogte en schaduw, namelijk de tangens van de zonnehoogte. Als een stok van 1 m een schaduw van 1.6 m werpt en een toren op hetzelfde moment een schaduw van 40 m, is de toren 40 × 1/1.6 = 25 m hoog. Op het bijzondere moment waarop de zon 45° hoog staat, is tan 45° = 1 en is elke schaduw precies zo lang als het voorwerp: de eerste versie van het verhaal.