Radialen en de eenheidscirkel

Leg de straal van een cirkel langs de rand en de hoek die hij beslaat is één radiaal, ongeveer 57.3°. Iets meer dan zes daarvan gaan rond de cirkel.

Hoeken meten met de straal

Graden zijn een menselijke keuze: 360 delen van een draai, een getal geërfd uit de Babylonische sterrenkunde. Radialen komen uit de cirkel zelf. OpenStax Precalculus definieert één radiaal als de middelpuntshoek waarvan de boog even lang is als de straal. Omdat de omtrek van een cirkel 2πr is, passen er precies 2π straallengten rond, dus een volle draai is 2π radialen. Dat legt de omrekening vast: 2π rad = 360°, of π rad = 180°.

Om graden in radialen om te zetten, vermenigvuldig je met π/180; om terug te gaan met 180/π. Dus 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6 en 90° = π/2, terwijl 2π/3 radialen gelijk is aan 2π/3 × 180/π = 120°. Eén radiaal is 180/π ≈ 57.2958°. Met radialen wordt booglengte eenvoudig: een hoek van θ radialen snijdt een boog af met lengte s = rθ. Op een cirkel met straal 5 cm snijden 2 radialen een boog van 10 cm af. Voor graden moet je eerst omrekenen: 60° op een cirkel met straal 10 cm is π/3 radialen, wat een boog van 10π/3 ≈ 10.47 cm geeft.

De eenheidscirkel

Een rechthoekige driehoek heeft alleen hoeken tot 90°, maar draaiingen gaan verder. Met de eenheidscirkel vervalt de beperking. Het is de cirkel met straal 1 en middelpunt in de oorsprong. Begin bij het punt (1, 0) en draai tegen de klok in over een hoek t. Precalculus definieert de cosinus van t als de x-coördinaat van het bereikte punt en de sinus van t als de y-coördinaat: (x, y) = (cos t, sin t). Voor hoeken tussen 0° en 90° komt dit overeen met de driehoek: de straal is een schuine zijde van lengte 1, dus de horizontale rechthoekszijde is cos t en de verticale is sin t.

Voorbij 90° krijgen de coördinaten tekens. Bij 150° ligt het punt linksboven, dus cos 150° = −√3/2 en sin 150° = 1/2. Bij 180° is het punt (−1, 0). In het derde kwadrant zijn beide coördinaten negatief, dus sin 210° = −1/2. Tangens is y/x, de richtingscoëfficiënt van de straal, en bestaat niet bij 90° en 270°, waar x = 0.

cos² + sin² = 1

Elk punt op de eenheidscirkel ligt op afstand 1 van de oorsprong, dus x² + y² = 1. Als je x = cos t en y = sin t invult, krijg je cos²t + sin²t = 1, wat Precalculus de goniometrische identiteit van Pythagoras noemt. Daarmee kun je de ene waarde uit de andere vinden. Als sin t = 3/5 en de hoek in het tweede kwadrant ligt, is cos²t = 1 − 9/25 = 16/25, en omdat x daar negatief is, is cos t = −4/5.

Waarom zou je eigenlijk radialen gebruiken? Omdat formules er eenvoudiger door worden. De booglengte s = rθ heeft geen losse factor π/180, en in de analyse is de afgeleide van sin x alleen cos x als x in radialen staat. Daarom werken de meeste wetenschappen en alle cursussen analyse met radialen. Graden blijven voor alledaagse hoeken zoals kompasrichtingen en dakhellingen.