Radian dan lingkaran satuan
Letakkan jari-jari lingkaran di sepanjang tepinya, dan sudut yang ditempuhnya adalah satu radian, kira-kira 57.3°. Sedikit lebih dari enam radian mengelilingi lingkaran.
Mengukur sudut dengan jari-jari
Derajat adalah pilihan manusia: satu putaran dibagi 360 bagian, bilangan warisan astronomi Babilonia. Radian berasal dari lingkaran itu sendiri. OpenStax Precalculus mendefinisikan satu radian sebagai sudut pusat yang panjang busurnya sama dengan jari-jari. Karena keliling lingkaran 2πr, tepat 2π panjang jari-jari muat mengelilinginya, jadi satu putaran penuh adalah 2π radian. Dari situ konversinya tetap: 2π rad = 360°, atau π rad = 180°.
Untuk mengubah derajat ke radian, kalikan dengan π/180; untuk kembali, kalikan dengan 180/π. Jadi 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6, dan 90° = π/2, sedangkan 2π/3 radian adalah 2π/3 × 180/π = 120°. Satu radian adalah 180/π ≈ 57.2958°. Radian membuat panjang busur jadi sederhana: sudut θ radian memotong busur sepanjang s = rθ. Pada lingkaran berjari-jari 5 cm, 2 radian memotong busur 10 cm. Untuk derajat, kamu harus mengonversi dulu: 60° pada lingkaran berjari-jari 10 cm adalah π/3 radian, sehingga busurnya 10π/3 ≈ 10.47 cm.
Lingkaran satuan
Segitiga siku-siku hanya punya sudut sampai 90°, tetapi putaran bisa lebih jauh. Lingkaran satuan menghapus batas itu. Lingkaran satuan adalah lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal. Mulailah dari titik (1, 0) lalu putar berlawanan arah jarum jam sebesar sudut t. Precalculus mendefinisikan kosinus t sebagai koordinat x dari titik yang dicapai dan sinus t sebagai koordinat y-nya: (x, y) = (cos t, sin t). Untuk sudut antara 0° dan 90°, ini sesuai dengan segitiga: jari-jarinya adalah sisi miring sepanjang 1, jadi sisi siku-siku mendatar adalah cos t dan sisi siku-siku tegak adalah sin t.
Seret untuk memutar. Gulir atau cubit untuk memperbesar.
Setelah melewati 90°, koordinat mendapat tanda. Pada 150°, titiknya berada di kiri atas, jadi cos 150° = −√3/2 dan sin 150° = 1/2. Pada 180°, titiknya (−1, 0). Di kuadran ketiga kedua koordinat negatif, jadi sin 210° = −1/2. Tangen adalah y/x, yaitu gradien jari-jari, dan tidak ada pada 90° dan 270°, ketika x = 0.
cos² + sin² = 1
Setiap titik pada lingkaran satuan berjarak 1 dari titik asal, jadi x² + y² = 1. Dengan menyubstitusikan x = cos t dan y = sin t, didapat cos²t + sin²t = 1, yang oleh Precalculus disebut Identitas Pythagoras. Identitas ini memungkinkanmu mencari satu nilai dari nilai yang lain. Jika sin t = 3/5 dan sudutnya di kuadran kedua, cos²t = 1 − 9/25 = 16/25, dan karena x negatif di sana, cos t = −4/5.
Untuk apa repot memakai radian? Karena radian membuat rumus jadi rapi. Panjang busur s = rθ tidak punya faktor π/180 yang mengganggu, dan dalam kalkulus turunan sin x adalah cos x hanya jika x dalam radian. Karena itu sebagian besar ilmu sains dan setiap mata kuliah kalkulus memakai radian, sedangkan derajat tetap dipakai untuk sudut sehari-hari seperti arah kompas dan kemiringan atap.
- Berapa 45° dalam radian?
- π/4
- π/2
- π/3
- 4π
- Berapa 2π/3 radian dalam derajat?
- Berapa satu radian dalam derajat, sampai 2 tempat desimal?
- Jari-jari 5 cm, sudut 2 radian. Berapa panjang busurnya?
- Jari-jari 10 cm, sudut 60°. Berapa panjang busurnya, sampai 2 tempat desimal?
- Berapa cos 180°?
- Berapa sin 210°?
- Di kuadran mana kosinus negatif dan sinus positif?
- II
- I
- III
- IV
- sin t = 3/5 dengan t di kuadran II. Berapa cos t dalam bentuk desimal?
- Di mana tan θ tidak terdefinisi?
- 90° dan 270°
- 0° dan 180°
- 45° dan 225°
- tidak di mana pun
- Berapa cos²(1.2) + sin²(1.2), dengan 1.2 dalam radian?
- 1 radian: panjang busur sama dengan jari-jari. 2π rad = 360°, π rad = 180°.
- Derajat → radian: × π/180. Radian → derajat: × 180/π.
- Panjang busur s = rθ dengan θ dalam radian.
- Lingkaran satuan: (cos t, sin t); tanda mengikuti kuadran; tan = y/x.
- cos²t + sin²t = 1.
Sumber kursus ini (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Diperiksa: 2026-10-17