Радианы и единичная окружность

Уложи радиус окружности вдоль её дуги, и угол, который он охватит, составит один радиан, около 57.3°. Чуть больше шести таких углов укладываются в полный круг.

Измерение углов радиусом

Градусы придумали люди: 360 частей полного оборота, число, доставшееся нам от вавилонской астрономии. Радианы берутся из самой окружности. В OpenStax Precalculus один радиан определён как центральный угол, дуга которого равна по длине радиусу. Длина окружности равна 2πr, поэтому по ней укладывается ровно 2π радиусов, и полный оборот составляет 2π радиан. Отсюда правило перевода: 2π рад = 360°, или π рад = 180°.

Чтобы перевести градусы в радианы, умножь на π/180; для обратного перевода умножь на 180/π. Так, 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6 и 90° = π/2, а 2π/3 радиана составляют 2π/3 × 180/π = 120°. Один радиан равен 180/π ≈ 57.2958°. С радианами длину дуги найти просто: угол в θ радиан отсекает дугу длиной s = rθ. На окружности радиусом 5 см угол 2 радиана отсекает дугу 10 см. Для градусов сначала нужен перевод: 60° на окружности радиусом 10 см составляют π/3 радиана, и дуга равна 10π/3 ≈ 10.47 см.

Единичная окружность

В прямоугольном треугольнике углы бывают только до 90°, а повороты идут дальше. Единичная окружность снимает это ограничение. Это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Начни с точки (1, 0) и поверни против часовой стрелки на угол t. В Precalculus косинус t определён как координата x точки, в которую ты попал, а синус t как её координата y: (x, y) = (cos t, sin t). Для углов от 0° до 90° это совпадает с треугольником: радиус является гипотенузой длины 1, поэтому горизонтальный катет равен cos t, а вертикальный sin t.

После 90° координаты получают знаки. При 150° точка находится вверху слева, поэтому cos 150° = −√3/2 и sin 150° = 1/2. При 180° точка равна (−1, 0). В третьей четверти обе координаты отрицательны, поэтому sin 210° = −1/2. Тангенс равен y/x, то есть наклону радиуса, и он не существует при 90° и 270°, где x = 0.

cos² + sin² = 1

Каждая точка единичной окружности находится на расстоянии 1 от начала координат, поэтому x² + y² = 1. Подставив x = cos t и y = sin t, получим cos²t + sin²t = 1; в Precalculus это называют тригонометрическим тождеством Пифагора (основным тригонометрическим тождеством). Оно позволяет найти одно значение по другому. Если sin t = 3/5 и угол лежит во второй четверти, то cos²t = 1 − 9/25 = 16/25, а поскольку x там отрицателен, cos t = −4/5.

Зачем вообще нужны радианы? Они делают формулы чище. В длине дуги s = rθ нет лишнего множителя π/180, а в математическом анализе производная sin x равна cos x, только если x выражен в радианах. Поэтому в большей части науки и в любом курсе анализа работают в радианах, а градусы остаются для бытовых углов вроде азимутов по компасу и уклона крыши.