Графики синуса и косинуса
Следи за высотой точки, которая идёт по окружности, и откладывай её в зависимости от угла: один круг рисует одну полную волну длиной 2π.
От окружности к волне
В прошлом уроке синус угла был высотой точки на единичной окружности. Теперь сделай угол горизонтальной осью графика, измеряя его в радианах, и откладывай над ней эту высоту. При 0 точка находится в (1, 0), высота 0. Она поднимается до высоты 1 при π/2, возвращается к 0 при π, опускается до −1 при 3π/2 и снова приходит к 0 при 2π, откуда начинала. Получившаяся кривая называется синусоидой. Если идти по кругу дальше, та же форма повторяется.
Перетащи, чтобы повернуть. Колёсико или щипок для масштаба.
Период и множество значений
OpenStax Precalculus описывает главные свойства. График повторяется через 2π, поэтому синус является периодической функцией с периодом 2π: sin(x + 2π) = sin x для любого x. Значения никогда не бывают больше 1 или меньше −1, потому что точка остаётся на окружности радиусом 1. Волна пересекает ось в каждой точке, кратной π, достигает максимума в π/2 плюс целое число оборотов и минимума в 3π/2 плюс целое число оборотов.
Косинус является горизонтальной координатой, поэтому его график начинается с 1 при x = 0, падает до 0 при π/2 и доходит до −1 при π. Это та же волна, что и синус, сдвинутая на четверть оборота влево: cos x = sin(x + π/2). Включи «График косинуса» в лаборатории, чтобы увидеть обе кривые рядом: они всегда отстоят друг от друга на четверть периода.
Растяжение волны
В Precalculus общая синусоидальная функция записана как y = A sin(Bx − C) + D. Здесь важны только A и B. Число A растягивает волну по вертикали; его модуль |A| называется амплитудой, это высота пика над средней линией. Так, y = 3 sin x колеблется между 3 и −3. Число B сжимает волну по горизонтали: период становится равен P = 2π/|B|. При B = 2 волна повторяется через каждые π, то есть вдвое чаще; при B = 1/2 ей нужно 4π, около 12.57, чтобы повториться. Отрицательное A переворачивает волну, не меняя амплитуду.
- около 140 г. до н. э.: Гиппарх составляет первую известную таблицу хорд.
- около 500 г.: Ариабхата составляет таблицы полухорд и называет синус jya.
- 628: Брахмагупта воспроизводит ту же таблицу синусов.
- 980: Абу-ль-Вафа знает, что sin 2x = 2 sin x cos x.
- 1533: Выходит из печати труд Региомонтана «De triangulis», написанный около 1464 года.
- 1583: Томас Финк впервые использует название «тангенс».
- 1624: Эдмунд Гюнтер впервые пишет сокращение sin.
- Период y = sin x с точностью до 4 знаков после точки?
- Наибольшее значение sin x?
- При каком x от 0 до 2π sin x достигает −1?
- 3π/2
- π
- π/2
- 2π
- cos 0?
- Амплитуда y = 3 sin x?
- Амплитуда y = −2 sin x?
- Период y = sin 2x с точностью до 4 знаков после точки?
- Период y = sin(x/2) с точностью до 2 знаков после точки?
- cos x равен:
- sin(x + π/2)
- sin(x + π)
- −sin x
- sin 2x
- Латинское слово sinus, от которого произошёл синус, означает:
- складку
- хорду
- окружность
- тень
- Кто первым использовал сокращение sin и в каком году? Назови год.
- sin x показывает высоту точки на единичной окружности в зависимости от угла.
- Период 2π; значения от −1 до 1; нули в точках, кратных π.
- cos x = sin(x + π/2): та же волна, сдвинутая на четверть оборота вперёд.
- y = A sin(Bx): амплитуда |A|, период 2π/|B|.
- jya → jiba → jaib → sinus; запись sin впервые применил Гюнтер в 1624 году.
Источники курса (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Проверено: 2026-10-17