Синус, косинус и тангенс
В любом прямоугольном треугольнике с углом 35° катет, противолежащий этому углу, составляет около 0.574 самой длинной стороны, нарисован ли треугольник на салфетке или раскинут через долину.
Названия сторон относительно угла
Тригонометрия начинается с прямоугольного треугольника и одного из двух его острых углов, который обычно обозначают θ (тета). Самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны получают названия относительно θ. Катет, который касается θ, называют прилежащим, то есть «лежащим рядом». Катет напротив θ называют противолежащим. Если выбрать другой острый угол, названия этих двух катетов поменяются местами, и OpenStax прямо на это указывает: катет, прилежащий к одному острому углу, противолежит другому.
Три отношения
Если разделить одну сторону на другую, получится отношение. У трёх таких отношений есть названия. Синус θ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Косинус θ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс θ равен отношению противолежащего катета к прилежащему. OpenStax предлагает английскую подсказку SohCahToa: Sine is Opposite over Hypotenuse, Cosine is Adjacent over Hypotenuse, Tangent is Opposite over Adjacent. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 5 у угла, противолежащего стороне 4, sin = 4/5 = 0.8, cos = 3/5 = 0.6 и tg = 4/3, примерно 1.333.
sin θ = противолежащий / гипотенуза, cos θ = прилежащий / гипотенуза, tg θ = противолежащий / прилежащий.
Почему отношение зависит только от угла
Нарисуй два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом 35°, маленький и большой. Их три угла совпадают (35°, 90° и 55°), поэтому они подобны: большой является увеличенной копией маленького. Увеличение умножает каждую сторону на одно и то же число, и в отношении двух сторон это число сокращается. Поэтому sin 35° является одним числом, примерно 0.5736, каким бы большим ни был треугольник. Именно поэтому калькулятор может его хранить. В лаборатории зафиксируй θ и двигай ползунок гипотенузы: все длины меняются, а отношения нет.
Перетащи, чтобы повернуть. Колёсико или щипок для масштаба.
Калькулятор выдаёт эти значения сразу, но проверь, что он настроен на градусы (часто это обозначено DEG). В режиме радиан sin 30 возвращает примерно −0.988 вместо 0.5, потому что читает 30 как 30 радиан. OpenStax определяет ещё три обратных отношения: секанс = гипотенуза / прилежащий, косеканс = гипотенуза / противолежащий и котангенс = прилежащий / противолежащий. Это первые три отношения, перевёрнутые вверх дном, поэтому в этом курсе мы работаем с синусом, косинусом и тангенсом.
- Какая сторона является гипотенузой?
- сторона напротив прямого угла
- сторона рядом с θ
- сторона напротив θ
- самая короткая сторона
- Стороны 5, 12, 13. Угол θ лежит напротив стороны 5. Найди sin θ с точностью до 4 знаков после точки.
- Тот же треугольник. Найди cos θ с точностью до 4 знаков после точки.
- Тот же треугольник. Запиши tg θ дробью.
- Пример из OpenStax: прилежащий катет 15, гипотенуза 17. Чему равен cos α?
- Сравни треугольник со сторонами 6, 8, 10 и треугольник со сторонами 3, 4, 5. Для соответствующих углов синус:
- одинаковый
- вдвое больше
- вдвое меньше
- в четыре раза больше
- Гипотенуза 6 и θ = 35°. Найди длину противолежащего катета с точностью до 2 знаков после точки.
- Найди tg 35° с точностью до 4 знаков после точки.
- Калькулятор выдаёт для sin 30 значение −0.988. Что не так?
- он в режиме радиан
- села батарейка
- синус бывает отрицательным
- всё в порядке
- В прямоугольном треугольнике sin θ всегда:
- между 0 и 1
- больше 1
- равен tg θ
- отрицательный
- Стороны 3, 4, 5, θ напротив стороны 4. Чему равен sec θ = гипотенуза / прилежащий?
- Гипотенуза лежит напротив прямого угла. Противолежащий и прилежащий катеты зависят от θ.
- sin = прот./гип., cos = прил./гип., tg = прот./прил. (SohCahToa).
- Подобные треугольники дают одинаковые отношения, поэтому у каждого угла один синус, один косинус и один тангенс.
- Переведи калькулятор в режим градусов.
- sec, cosec, ctg обратны cos, sin, tg.
Источники курса (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Проверено: 2026-10-17