Решение прямоугольных треугольников
Одной стороны и одного острого угла достаточно, чтобы найти всё остальное в прямоугольном треугольнике. Если против угла 30° лежит сторона 7, гипотенуза равна ровно 14.
Как найти неизвестную сторону
OpenStax говорит прямо: настоящая сила тригонометрии прямоугольного треугольника видна тогда, когда угол известен, а стороны известны не все. Способ состоит из трёх шагов. Сначала выбери отношение, в которое входят нужная сторона и известная сторона. Затем запиши уравнение с известным углом. Наконец, найди неизвестное. Возьмём пример из самого OpenStax: угол 30°, противолежащий катет 7, прилежащий катет a неизвестен. Тангенс связывает противолежащий и прилежащий катеты, поэтому tg 30° = 7/a, откуда a = 7 / tg 30° ≈ 12.1. Для гипотенузы c синус связывает противолежащий катет и гипотенузу: sin 30° = 7/c, значит c = 7 / sin 30° = 14.
Следи, где стоит неизвестное. Если оно в числителе дроби, нужно умножать: лестница длиной 5 м, прислонённая под углом 75° к земле, достаёт до высоты 5 sin 75° ≈ 4.83 м, а её основание стоит в 5 cos 75° ≈ 1.29 м от стены. Если неизвестное в знаменателе, нужно делить, как в примере 7 / tg 30° выше. Быстрая проверка: гипотенуза должна получиться длиннее обоих катетов, а катет против большего острого угла должен быть длиннее.
Как найти неизвестный угол
Иногда известны две стороны, а нужен угол. Тогда отношение «прокручивают назад» с помощью обратной функции. Её записывают как sin⁻¹, cos⁻¹ и tan⁻¹ (в русских учебниках arcsin, arccos и arctg: арксинус, арккосинус и арктангенс). Если противолежащий катет равен 3, а прилежащий 4, то tg θ = 3/4 = 0.75 и θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°. Второй острый угол равен 90 − 36.87 = 53.13°. Здесь −1 является обозначением, а не степенью: sin⁻¹ x означает «угол, синус которого равен x», а не 1 / sin x.
Перетащи, чтобы повернуть. Колёсико или щипок для масштаба.
Решение треугольника целиком
Решить прямоугольный треугольник значит найти все три стороны и оба острых угла. Если известны две стороны, третью находят по теореме Пифагора, а угол с помощью обратной функции; последний угол равен 90° минус первый. Если известны одна сторона и один угол, второй острый угол равен 90° минус данный, а два отношения дают оставшиеся стороны. Например, при катетах 6 и 8 гипотенуза равна √(36 + 64) = 10, угол против катета 6 равен tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87°, а другой угол около 53.13°. Это треугольник 3-4-5, увеличенный в 2 раза, поэтому углы совпадают.
Полезно проверить ответ вторым отношением. В примере из OpenStax стороны получились 7, около 12.12 и 14. Тогда cos 30° должен быть равен 12.12 / 14 ≈ 0.866, и так и есть: cos 30° = √3/2 ≈ 0.866. Несовпадение означает, что одну из сторон нашли не по тому отношению.
- Угол 30°, противолежащий катет 7. Прилежащий катет с точностью до 2 знаков после точки?
- Тот же треугольник. Гипотенуза?
- Лестница длиной 5 м образует с землёй угол 75°. На какую высоту по стене она достаёт, с точностью до 2 знаков после точки?
- Та же лестница. Расстояние от её основания до стены с точностью до 2 знаков после точки?
- Противолежащий катет 3, прилежащий 4. θ в градусах с точностью до 2 знаков после точки?
- Противолежащий катет 5, гипотенуза 10. θ?
- Пандус поднимается на 0.5 м на горизонтальном отрезке 6 м. Его угол с точностью до 2 знаков после точки?
- Катеты 6 и 8. Гипотенуза?
- Гипотенуза 12, угол 40°. Катет, прилежащий к углу 40°, с точностью до 2 знаков после точки?
- Что означает sin⁻¹(0.6)?
- угол, синус которого равен 0.6
- 1 ÷ sin 0.6
- sin 0.6 в квадрате
- −sin 0.6
- У тебя получились гипотенуза 4 и катет 5. В чём ошибка?
- гипотенуза должна быть самой длинной стороной
- всё в порядке
- угол должен быть 45°
- катеты всегда короче 1
- Выбирай отношение, в котором есть неизвестная сторона и известная сторона.
- Неизвестное в числителе: умножай. Неизвестное в знаменателе: дели.
- Обратные функции sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ превращают отношение обратно в угол.
- Два острых угла в сумме дают 90°; третью сторону находи по теореме Пифагора.
- Округляй только в конце.
Источники курса (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Проверено: 2026-10-17