직각삼각형 풀기

변 하나와 예각 하나만 알면 직각삼각형의 나머지를 모두 구할 수 있습니다. 30°의 맞은편 변이 7이면 빗변은 정확히 14입니다.

모르는 변 구하기

OpenStax는 이렇게 씁니다. 직각삼각형 삼각비의 진짜 쓸모는 각은 알지만 변을 다 모를 때 드러납니다. 방법은 세 단계입니다. 먼저 구하려는 변과 아는 변이 함께 들어 있는 비를 고릅니다. 다음으로 아는 각으로 식을 씁니다. 마지막으로 모르는 값을 풉니다. OpenStax의 예제를 그대로 봅시다. 각이 30°, 대변이 7이고 이웃변 a를 모릅니다. 대변과 이웃변을 잇는 것은 탄젠트이므로 tan 30° = 7/a이고, 정리하면 a = 7 / tan 30° ≈ 12.1입니다. 빗변 c는 대변과 빗변을 잇는 사인으로 구합니다. sin 30° = 7/c이므로 c = 7 / sin 30° = 14입니다.

모르는 값이 분수의 어디에 있는지 보세요. 분자에 있으면 곱합니다. 길이 5 m인 사다리가 땅과 75°로 기대어 있으면 닿는 높이는 5 sin 75° ≈ 4.83 m이고, 사다리 발은 벽에서 5 cos 75° ≈ 1.29 m 떨어져 있습니다. 분모에 있으면 위의 7 / tan 30°처럼 나눕니다. 빠른 확인법이 있습니다. 빗변은 두 다리보다 길어야 하고, 큰 예각의 맞은편 변이 더 긴 다리여야 합니다.

모르는 각 구하기

두 변을 알고 각을 구하고 싶을 때도 있습니다. 그때는 비를 거꾸로 돌리는 역함수를 씁니다. sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹로 쓰고 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트라고도 부릅니다. 대변이 3, 이웃변이 4이면 tan θ = 3/4 = 0.75이고 θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°입니다. 다른 예각은 90 − 36.87 = 53.13°입니다. 여기서 −1은 거듭제곱이 아니라 이름입니다. sin⁻¹ x는 「사인 값이 x인 각」이라는 뜻이지 1 / sin x가 아닙니다.

삼각형 전체 풀기

직각삼각형을 푼다는 것은 세 변과 두 예각을 모두 구한다는 뜻입니다. 두 변을 알면 피타고라스 정리로 세 번째 변을, 역함수로 한 각을 구하고, 남은 각은 90°에서 그 각을 뺍니다. 변 하나와 각 하나를 알면 다른 예각은 90°에서 주어진 각을 빼서 구하고, 비 두 개로 나머지 두 변을 구합니다. 예를 들어 두 다리가 6과 8이면 빗변은 √(36 + 64) = 10, 6의 맞은편 각은 tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87°, 다른 각은 약 53.13°입니다. 3-4-5 삼각형을 두 배로 늘린 것이므로 각도 같습니다.

다른 비로 답을 확인하면 도움이 됩니다. OpenStax 예제에서 세 변은 7, 약 12.12, 14로 나왔습니다. 그러면 cos 30°가 12.12 / 14 ≈ 0.866이어야 하는데, 실제로 cos 30° = √3/2 ≈ 0.866입니다. 어긋나면 어느 한 변을 잘못된 비로 구한 것입니다.