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삼각형

삼각형을 일곱 단원으로 배웁니다. 변과 각으로 삼각형을 나누고, 내각의 합 180°와 외각의 성질을 증명하고, 세 길이로 삼각형을 만들 수 있는지 판단합니다. 이어서 삼각형의 합동 조건과 두 변과 한 각이 같아도 합동이 아닐 수 있는 경우, 닮음과 닮음비, 피타고라스 정리의 두 가지 증명과 그 역, 밑변과 높이 또는 세 변만으로 넓이를 구하는 헤론의 공식까지 다룹니다. 삼각비 실험실에서 꼭짓점을 끌면 각과 이름이 바로 바뀝니다.

진도

이 과정에 대하여

종이 삼각형의 세 모서리를 찢어 꼭짓점을 맞대어 놓아 보세요. 어떤 삼각형에서 시작했든 한 직선, 곧 180°를 채웁니다. 이것이 내각의 합이며 과정의 첫 번째 사실입니다. 삼각 실험실은 각을 0.1°까지 반올림해 보여 주므로 반올림한 세 수의 합이 0.1만큼 어긋날 수 있지만, 합계 줄에 보이는 정확한 합은 180°입니다.

일곱 단원은 삼각형의 종류, 내각의 합과 외각, 어떤 세 길이로 삼각형이 만들어지는가, 합동 삼각형(SSS, SAS, ASA와 SSA가 안 되는 이유), 닮은 삼각형과 축척, 피타고라스 정리의 두 가지 증명과 역, 넓이와 헤론의 공식입니다. 한 도형이 다른 도형의 확대나 축소일 때 두 도형은 닮았고, 대응각은 같고 대응변은 모두 같은 비를 가지며 이를 닮음비라 합니다. 모눈종이에서 두 변이 3칸과 4칸인 직각삼각형은 그 변 위에 넓이 9와 16인 정사각형을 얻고, 가장 긴 변 위의 정사각형은 정확히 25를 덮습니다.

마지막 단원은 넓이를 두 가지로 구합니다. 두 번째 방법은 높이가 전혀 필요 없습니다. 변이 a, b, c일 때 둘레의 반인 s를 구한 뒤 넓이 = √(s(s − a)(s − b)(s − c))입니다. 13, 14, 15에서는 s = 42 ÷ 2 = 21이고 넓이는 √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84입니다. 삼각 실험실에서 삼각형의 꼭짓점을 끌어 숫자가 어떻게 바뀌는지 확인해 보세요.

시작하기 전에

각을 더하고 길이를 비교하며 비율을 계산하는 연습이 예제를 푸는 데 도움이 됩니다. 평각과 평행선을 이용한 설명은 각을 복습하면 이해하기 쉽습니다. 실습에서 꼭짓점을 옮겨 측정값을 비교하되, 화면의 수치뿐 아니라 규칙이 성립하는 이유도 살펴봅니다.

마치고 나면

변과 각에 따라 삼각형을 분류하고 모르는 각을 구하며 세 길이로 삼각형을 만들 수 있는지 판단합니다. 합동 조건을 적용하고 SSA가 충분하지 않은 이유를 설명할 수 있습니다. 닮음으로 높이를 구하고, 피타고라스 정리를 적용하며, 밑변과 높이 또는 헤론의 공식으로 넓이를 계산합니다.

  1. 1변과 각으로 삼각형 나누기세 변이 5 cm, 5 cm, 8 cm인 삼각형은 이등변삼각형이면서 둔각삼각형입니다. 앞의 이름은 변에서, 뒤의 이름은 약 106°인 가장 큰 각에서 나옵니다.
  2. 2삼각형의 내각의 합과 외각종이 삼각형의 세 귀퉁이를 찢어 꼭짓점끼리 모아 붙이면 어떤 삼각형이든 일직선을 이룹니다. 180°입니다.
  3. 3세 길이로 삼각형을 만들 수 있을까3 cm, 4 cm, 8 cm 막대로는 삼각형을 만들 수 없습니다. 짧은 두 막대를 이어도 3 + 4 = 7 cm라서 긴 막대보다 1 cm 모자랍니다.
  4. 4삼각형의 합동 조건과 두 변과 한 각의 함정두 삼각형이 30°인 각 하나와 길이 10, 6인 두 변을 똑같이 가져도 서로 다를 수 있습니다. 셋째 변이 한쪽은 약 11.98, 다른 쪽은 약 5.34입니다.
  5. 5삼각형의 닮음과 닮음비키 1.6 m인 학생의 그림자가 2 m일 때 학교 국기 게양대의 그림자는 15 m입니다. 게양대의 높이는 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m이고, 아무도 올라가 볼 필요가 없었습니다.
  6. 6피타고라스 정리와 그 역모눈종이에 직각을 낀 두 변이 3칸, 4칸인 직각삼각형을 그리고 각 변에 정사각형을 붙이면 9칸과 16칸, 가장 긴 변의 정사각형은 정확히 25칸입니다.
  7. 7삼각형의 넓이와 헤론의 공식세 변이 13 m, 14 m, 15 m인 삼각형의 넓이는 정확히 84 m²이고, 이 값에는 전혀 다른 두 길로 닿을 수 있습니다.

관련 과정

  • 각
    각을 다섯 단원으로 배웁니다. 각도기로 각을 재고, 각의 종류를 구별하고, 더해서 90°와 180°가 되는 각의 짝을 익히고, 한 직선이 평행선 두 개를 가로지를 때 생기는 여덟 각을 읽고, 삼각형과 다각형의 내각의 합을 구합니다. 각 페이지의 삼각비 실험실에는 각도기, 평행선 한 쌍, 꼭짓점을 끌어 움직일 수 있는 삼각형이 있습니다.
  • 입체의 겉넓이와 부피
    과자 상자, 통조림 캔, 아이스크림콘, 공에는 겉을 싸는 종이의 넓이와 안에 담기는 양을 구하는 공식이 하나씩 있습니다. 입체를 3D로 펼쳐 보고, 슬라이더로 크기를 바꾸며 숫자가 어떻게 따라 변하는지 확인합니다.
  • 원
    원을 여섯 단원으로 배웁니다. 원의 중심, 반지름, 지름과 현, 호, 부채꼴, 접선이 무엇인지 정하고 원의 중심을 찾는 방법부터 시작합니다. 이어서 원주율과 원주를 재고 아르키메데스가 다각형으로 원주율을 가둔 방법을 따라가며, 원을 부채꼴로 잘라 원의 넓이 공식을 만듭니다. 중학교 내용으로 부채꼴의 호의 길이와 넓이, 중심각과 원주각의 관계, 접선과 반지름이 이루는 직각과 접선의 길이를 다룹니다. 원 위의 점을 끌고, 원기둥과 원뿔을 펼치고, 원그래프 조각을 눌러 보며 숫자를 직접 확인합니다.
  • 삼각비
    직각삼각형과 단위원의 삼각비를 여섯 단원으로 배웁니다. 직각삼각형의 변에 이름을 붙이고, 사인·코사인·탄젠트를 변의 비로 정의하고, 30°·45°·60°의 정확한 값을 익히고, 변 하나와 각 하나로 삼각형을 풀고, 손이 닿지 않는 높이를 재고, 라디안과 단위원으로 넘어가 사인 그래프를 그립니다. 삼각비 실험실에는 크기를 바꿀 수 있는 직각삼각형, 높이 재기 마당, 그래프와 함께 움직이는 단위원이 있습니다.
이 과정의 출처 (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

확인한 날: 2026-10-19