세 길이로 삼각형을 만들 수 있을까

3 cm, 4 cm, 8 cm 막대로는 삼각형을 만들 수 없습니다. 짧은 두 막대를 이어도 3 + 4 = 7 cm라서 긴 막대보다 1 cm 모자랍니다.

먼저 빨대 세 묶음을 판단해 보세요

규칙보다 문제가 먼저입니다. 빨대를 잘라 세 묶음을 만들었습니다. 길이는 센티미터로 3, 4, 5인 묶음, 3, 4, 7인 묶음, 3, 4, 8인 묶음입니다. 어느 묶음이 세 빨대의 끝을 서로 이어 삼각형으로 닫힐까요? 묶음마다 먼저 짐작해 보고, 빨대와 가위가 가까이 있으면 직접 잘라 맞춰 보세요. 대부분 첫째와 셋째는 바로 맞히고, 가운데 묶음에서 망설입니다.

결과는 이렇습니다. 3, 4, 5에서는 짧은 두 빨대가 서로 기울어 긴 빨대 위에서 만나므로 삼각형이 됩니다. 3, 4, 8에서는 8을 바닥에 놓고 양 끝에 3과 4를 세워 보세요. 어떻게 기울여도 두 끝이 만나지 않습니다. 8 위에 납작하게 눕혀도 3 + 4 = 7만큼만 덮기 때문입니다. 3, 4, 7에서는 두 짧은 빨대를 긴 빨대 위에 납작하게 눕혔을 때만 끝이 만납니다. 높이도 넓이도 없는 모양이고, 세 꼭짓점이 한 직선 위에 있으므로 삼각형으로 치지 않습니다.

위: 3과 4를 합하면 5보다 길어서 그 위에서 만납니다. 가운데: 3 + 4 = 7이라 납작하게 눕습니다. 아래: 3 + 4가 8보다 짧아서 두 끝이 끝내 만나지 못합니다.

두 변의 길이의 합은 나머지 한 변보다 깁니다

빨대가 따른 규칙은 하나입니다. 모든 삼각형에서 어느 두 변의 길이의 합도 나머지 한 변의 길이보다 큽니다. 식으로 쓰면 a + b > c, b + c > a, c + a > b이고, 이것을 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계, 흔히 삼각부등식이라고 부릅니다. 부등식이 세 개지만 셋을 다 따질 필요는 없습니다. 짧은 변보다 긴 변에 무언가를 더하면 당연히 짧은 변보다 길어지니, 문제가 생길 수 있는 것은 가장 긴 변뿐입니다. 그래서 빠르게 판단하는 법은 이렇습니다. 짧은 두 길이를 더해 가장 긴 길이와 비교합니다. 더 크면 삼각형이 되고, 같거나 작으면 되지 않습니다.

학교에서 집에 가는 길에 편의점에 들른다고 해 봅시다. 편의점이 곧장 가는 길 위에 딱 놓여 있지 않은 한, 들렀다 가는 길이 바로 가는 길보다 깁니다. 학교, 집, 편의점이 삼각형의 세 꼭짓점이고, 바로 가는 길은 그중 한 변이라 나머지 두 변을 합한 것보다 언제나 짧습니다. 사람들이 공원 잔디밭을 대각선으로 가로질러 길이 패는 것도 그래서입니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

낮고 납작한 삼각형입니다. C를 변 AB 쪽으로 끌어내려 보세요. ∠C가 180°에 가까워지면서 삼각형이 얇아집니다. 변 AC와 CB를 합한 길이가 AB에 점점 가까워지지만, 같아지는 순간 삼각형이 사라지므로 실험실은 거기까지 내려가지 못하게 막아 둡니다.

셋째 변의 길이는 어디까지 될까

이 규칙으로 모르는 변의 길이가 들어갈 범위도 정할 수 있습니다. 두 변이 5 cm, 9 cm라고 합시다. 셋째 변 c는 5 + 9 > c를 만족해야 하므로 c < 14입니다. 또 c + 5 > 9도 만족해야 하므로 c > 4입니다. 둘을 합치면 4 < c < 14입니다. 일반적으로 셋째 변은 나머지 두 변의 차보다 크고 합보다 작습니다. 길이가 자연수 센티미터여야 한다면 5부터 13까지, 모두 아홉 가지입니다.

이등변삼각형에서 자주 나오는 함정이 있습니다. 이등변삼각형의 두 변이 4와 9일 때 나머지 한 변은 4일까요, 9일까요? 4라고 해 보면 세 변이 4, 4, 9인데 4 + 4 = 8이 9보다 작아서 삼각형이 되지 않습니다. 그러니 나머지 변은 9이고, 세 변은 4, 9, 9, 둘레는 22입니다.

가장 긴 변의 대각이 가장 큰 각입니다

이 규칙과 함께 다니는 사실이 하나 더 있습니다. 삼각형에서 두 변 가운데 더 긴 변의 대각이 더 큰 각입니다. 그래서 가장 긴 변은 언제나 가장 큰 각과, 가장 짧은 변은 가장 작은 각과 마주 봅니다. 꼭짓점 하나를 맞은편 변에서 멀리 당기면 그 꼭짓점의 각과 맞은편 변이 함께 커집니다. 직각삼각형에서 빗변이 가장 긴 변이라는 것도 재 보지 않고 알 수 있습니다. 빗변은 90°인 각의 대변이고, 나머지 두 각은 그보다 작으니까요.

배경유클리드는 『원론』 제1권 명제 20에서 이 부등식을 증명합니다. 어떤 삼각형에서든 두 변의 합은 나머지 한 변보다 크다는 내용입니다. 그 증명은 바로 앞의 명제 19에 기댑니다. 더 큰 각의 대변이 더 길다는 명제입니다. 조이스판 해설은 이 명제를 「두 점 사이의 가장 짧은 길은 직선」이라는 생각과 이어 주고, 알렉산드리아의 헤론이 푼 문제 하나를 소개합니다. 한 직선의 같은 쪽에 두 점이 있을 때, 한 점에서 직선에 들렀다가 다른 점으로 가는 가장 짧은 길을 찾는 문제입니다. 답은 들어오는 각과 나가는 각이 같은 길, 거울에 빛이 튕기는 모양의 길이고, 그 증명에 명제 20이 쓰입니다.

2 cm, 3 cm, 6 cm 막대로 삼각형을 만들 수 있을까요?
- 없다
- 있다
5 cm, 7 cm, 10 cm 막대로 삼각형을 만들 수 있을까요?
- 있다
- 없다
4 cm, 4 cm, 8 cm 막대로 삼각형을 만들 수 있을까요?
- 없다, 납작하게 눕는다
- 있다, 이등변삼각형
- 있다, 정삼각형
- 있다, 직각삼각형
삼각형을 만들 수 있는 길이는?
- 6, 8, 10
- 1, 2, 3
- 2, 5, 9
- 3, 3, 7
두 변이 5 cm, 9 cm입니다. 셋째 변이 자연수 센티미터일 때 가능한 길이는 몇 가지일까요?
두 변이 7, 12일 때 셋째 변이 될 수 있는 가장 작은 자연수는?
두 변이 3, 10일 때 셋째 변이 될 수 있는 가장 큰 자연수는?
이등변삼각형의 두 변의 길이가 4와 9입니다(둘 중 하나가 한 번 더 나옵니다). 둘레는?
△ABC에서 ∠A = 80°, ∠B = 60°, ∠C = 40°입니다. 가장 긴 변은?
- BC
- AC
- AB
- 모두 같다
사람들이 잔디밭 두 변을 돌아가지 않고 대각선으로 가로지르는 까닭은?
- 삼각형의 한 변은 나머지 두 변의 합보다 짧아서
- 대각선에 직각이 있어서
- 잔디가 길을 길게 만들어서
- 대각선이 가장 긴 변이라서

자주 하는 실수

「3, 4, 7은 아주 납작한 삼각형이다.」 짧은 두 변의 합이 긴 변과 딱 같으면 세 꼭짓점이 한 직선 위에 놓입니다. 높이도 넓이도 없으니 삼각형이 아닙니다. 「크다」여야지 「같다」로는 안 됩니다.
「3 + 8 > 4를 확인했으니 3, 4, 8은 된다.」 가장 긴 변에 무엇을 더해도 짧은 변보다는 크니, 그 확인은 아무것도 말해 주지 않습니다. 가장 짧은 두 변을 더해 가장 긴 변과 비교해야 합니다. 3 + 4 = 7 < 8입니다.
「두 변이 5와 9이니 셋째 변은 5와 9 사이다.」 셋째 변은 둘보다 짧을 수도, 둘보다 길 수도 있습니다. 실제 범위는 차와 합 사이인 4 < c < 14이고, 13이나 4.5도 됩니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정 수학과 문서에는 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계가 따로 성취기준으로 적혀 있지 않습니다. 중학교 1~3학년군 [9수03-03]에서 세 변의 길이가 주어진 삼각형을 작도하고 그 과정을 설명할 때 자연스럽게 마주칩니다. 그래서 학생이 스스로 찾아내게 하기 좋은 내용입니다. 3, 4, 5, 7, 8 cm 빨대를 나눠 주고 어떤 세 개가 닫히는지 찾게 해 보세요. 토론거리는 3, 4, 7입니다. 빨대를 눌러 얇은 삼각형을 만들고 성공했다고 하는 학생이 꼭 있습니다. 그 삼각형의 넓이가 얼마냐고 물어 보세요.

핵심 정리

삼각형에서 어느 두 변의 길이의 합도 나머지 한 변보다 깁니다.
빠른 판단: 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 길어야 합니다.
두 변이 a, b일 때 셋째 변 c는 (두 변의 차) < c < a + b입니다.
가장 긴 변의 대각이 가장 큰 각입니다.

이 과정의 출처 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

확인한 날: 2026-10-19