edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Meetkunde en tekeningen›Driehoeken

Welke drie lengtes vormen een driehoek

Stokjes van 3 cm, 4 cm en 8 cm kunnen niet tot een driehoek worden verbonden. De twee korte reiken samen maar 3 + 4 = 7 cm, één centimeter te weinig voor de lange.

Beoordeel eerst drie sets rietjes

Voordat de regel komt, eerst een puzzel. Je hebt drie bundels rietjes, geknipt op deze lengtes in centimeters: 3, 4 en 5; 3, 4 en 7; 3, 4 en 8. Bij welke bundels kun je de rietjes met de uiteinden aan elkaar leggen tot een gesloten driehoek? Doe voor elke bundel een voorspelling. Heb je rietjes en een schaar bij de hand, knip ze dan op maat en probeer het. De meeste mensen hebben de eerste en de laatste goed, maar twijfelen bij de middelste.

Dit gebeurt er. Bij 3, 4 en 5 leunen de twee kortere rietjes naar elkaar toe en raken ze elkaar boven het lange rietje: een driehoek. Bij 3, 4 en 8 leg je de 8 neer en zet je de 3 en 4 op de uiteinden. Hoe je ze ook kantelt, de punten kunnen elkaar niet raken. Zelfs als ze plat langs de 8 liggen, bedekken ze samen maar 7. Bij 3, 4 en 7 raken de punten elkaar alleen als beide korte rietjes plat boven op het lange liggen. De ‘driehoek’ heeft dan geen hoogte en geen oppervlakte. In de meetkunde telt hij niet als driehoek, want de drie hoekpunten liggen op één lijn.

Boven: 3 en 4 samen zijn langer dan 5, dus de rietjes raken elkaar erboven. Midden: 3 + 4 = 7 ligt plat. Onder: 3 + 4 is korter dan 8, dus de punten kunnen elkaar nooit raken.

Twee zijden samen zijn langer dan de derde

De rietjes volgen één regel, de driehoeksongelijkheid. In elke driehoek is de som van elke twee zijden groter dan de derde zijde: a + b > c, b + c > a en c + a > b. Dat zijn drie ongelijkheden, maar je hoeft ze niet alle drie te controleren. Alleen de langste zijde kan problemen geven, omdat elke zijde plus iets positiefs groter is dan een kortere zijde. De snelle test is dus: tel de twee kortste lengtes op en vergelijk de uitkomst met de langste. Groter betekent een driehoek. Gelijk of kleiner betekent geen driehoek.

Denk aan een wandeling van school naar huis waarbij je onderweg even naar een buurtwinkel gaat. Tenzij de winkel precies op de rechte route ligt, is de omweg langer dan rechtstreeks naar huis lopen. Huis, school en winkel vormen de drie hoekpunten van een driehoek. De rechte route is één zijde en altijd korter dan de andere twee samen. Daarom steken mensen een park schuin over en ontstaat er een uitgesleten pad in het gras.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Dit is een lage, platte driehoek. Sleep C omlaag naar zijde AB. Hoek C wordt steeds groter en nadert 180°, terwijl de driehoek steeds smaller wordt. De som van AC en CB komt steeds dichter bij de lengte van AB. Het practicum laat ze niet precies gelijk worden, want dan zou de driehoek verdwijnen.

Hoe lang kan de derde zijde zijn?

De regel geeft ook grenzen aan een ontbrekende zijde. Stel dat twee zijden 5 cm en 9 cm zijn. De derde zijde c moet voldoen aan 5 + 9 > c, dus c < 14. Ook moet c + 5 > 9 gelden, dus c > 4. Samen geeft dat 4 < c < 14. In het algemeen ligt de derde zijde strikt tussen het verschil en de som van de andere twee. Moeten de zijden hele centimeters zijn, dan kun je kiezen uit 5, 6, 7 enzovoort tot en met 13. Dat zijn negen mogelijke lengtes.

Bij gelijkbenige driehoeken ontstaat een klassieke valkuil. Twee zijden van een gelijkbenige driehoek zijn 4 en 9. Is de derde zijde 4 of 9? Probeer 4: de zijden 4, 4 en 9 voldoen niet, want 4 + 4 = 8 is kleiner dan 9. De derde zijde moet dus 9 zijn. De zijden zijn 4, 9 en 9 en de omtrek is 22.

De langste zijde ligt tegenover de grootste hoek

Bij het eerste feit hoort een tweede. In elke driehoek ligt de langere van twee zijden tegenover de grotere hoek, dus de langste zijde ligt altijd tegenover de grootste hoek en de kortste zijde tegenover de kleinste. Trek een hoekpunt weg van de overstaande zijde: de hoek daar en de zijde ertegenover worden samen groter. Zo weet je zonder te meten dat de schuine zijde van een rechthoekige driehoek zijn langste zijde is: hij ligt tegenover de hoek van 90° en de andere twee hoeken zijn kleiner.

AchtergrondEuclides bewijst de driehoeksongelijkheid als Propositie 20 van Boek I: in elke driehoek is de som van elke twee zijden groter dan de resterende. Zijn bewijs steunt op Propositie 19, die zegt dat tegenover de grotere hoek de grotere zijde ligt. In de D. E. Joyce-editie leggen de noten een verband tussen dit resultaat en de gedachte dat een rechte lijn de kortste weg is, en ze vertellen een probleem na dat Heron van Alexandrië oploste. Twee punten liggen aan dezelfde kant van een rechte lijn en je moet van het ene punt naar de lijn gaan en dan naar het andere punt, via de kortst mogelijke route. Het antwoord is het pad waarbij de hoek van aankomst gelijk is aan de hoek van vertrek, zoals licht dat van een spiegel weerkaatst, en het bewijs gebruikt Propositie 20.
  1. Kunnen stokjes van 2, 3 en 6 cm een driehoek vormen?
    • Nee
    • Ja
  2. Kunnen stokjes van 5, 7 en 10 cm een driehoek vormen?
    • Ja
    • Nee
  3. Kunnen stokjes van 4, 4 en 8 cm een driehoek vormen?
    • Nee, ze liggen plat
    • Ja, een gelijkbenige
    • Ja, een gelijkzijdige
    • Ja, een rechthoekige
  4. Welke lengtes vormen een driehoek?
    • 6, 8, 10
    • 1, 2, 3
    • 2, 5, 9
    • 3, 3, 7
  5. Twee zijden zijn 5 cm en 9 cm. De derde zijde is een geheel aantal centimeters. Hoeveel lengtes zijn mogelijk?
  6. Twee zijden zijn 7 en 12. Wat is de kleinste hele lengte van de derde zijde?
  7. Twee zijden zijn 3 en 10. Wat is de grootste hele lengte van de derde zijde?
  8. Een gelijkbenige driehoek heeft twee zijden van 4 en 9 (een van de twee komt twee keer voor). Wat is de omtrek?
  9. In driehoek ABC is A = 80°, B = 60°, C = 40°. Welke zijde is het langst?
    • BC
    • AC
    • AB
    • Alle gelijk
  10. Waarom steken mensen een grasveld diagonaal over in plaats van langs twee zijden?
    • Eén driehoekszijde is korter dan de andere twee samen
    • De diagonaal heeft een rechte hoek
    • Gras maakt paden langer
    • De diagonaal is de langste zijde
Veelgemaakte fouten
  • ‘3, 4 en 7 vormen een heel vlakke driehoek.’ Als de korte samen precies de lange zijn, liggen de hoekpunten op één lijn. Geen hoogte of oppervlakte, dus geen driehoek. De ongelijkheid moet strikt zijn: groter dan, niet gelijk.
  • ‘Ik controleerde 3 + 8 > 4, dus 3, 4, 8 is goed.’ De langste zijde plus een andere zijde is altijd langer dan een kortere zijde. Die controle bewijst dus niets. Tel de twee kortste zijden op en vergelijk de uitkomst met de langste: 3 + 4 = 7 < 8.
  • ‘Twee zijden zijn 5 en 9, dus de derde ligt tussen 5 en 9.’ De derde zijde kan korter dan beide andere zijden zijn, maar ook langer dan beide. De echte grenzen zijn het verschil en de som: 4 < c < 14. Zowel een zijde van 13 als een zijde van 4.5 is toegestaan.
Voor de docentHet Koreaanse curriculumdocument van 2022 noemt de driehoeksongelijkheid niet als aparte leerdoelstelling; ze komt in de onderbouw van het voortgezet onderwijs naar voren wanneer leerlingen een driehoek construeren uit drie gegeven lengtes en hun werkwijze moeten uitleggen. Dat maakt het een goede ontdekopdracht. Deel rietjes van 3, 4, 5, 7 en 8 cm uit en laat leerlingen zoeken welke drietallen een gesloten driehoek geven. Het geval 3, 4, 7 is het geval om te bespreken: sommige leerlingen drukken de rietjes tot een dunne driehoek en noemen dat gelukt. Vraag wat de oppervlakte ervan is.
Belangrijkste punten
  • De som van elke twee zijden van een driehoek is groter dan de derde zijde.
  • Snelle test: de twee kortste samen moeten langer zijn dan de langste.
  • Derde zijde c van een driehoek met zijden a en b: |a − b| < c < a + b.
  • De langste zijde ligt tegenover de grootste hoek.
Bronnen van deze cursus (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Geraadpleegd: 2026-10-19