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Início›Geometria e desenho›Triângulos

Quais três comprimentos formam um triângulo

Varetas de 3 cm, 4 cm e 8 cm não fecham um triângulo. As duas curtas alcançam apenas 3 + 4 = 7 cm, um centímetro a menos que a longa.

Três conjuntos de canudos para avaliar primeiro

Antes da regra, um desafio. Você tem três conjuntos de canudos cortados nestes comprimentos em centímetros: 3, 4 e 5; 3, 4 e 7; 3, 4 e 8. Em quais conjuntos dá para unir as pontas dos três canudos e fechar um triângulo? Faça uma previsão e, se houver canudos e tesoura por perto, corte e teste. A maioria acerta o primeiro e o último, mas hesita no do meio.

Veja o que acontece. Com 3, 4 e 5, os dois curtos se inclinam um para o outro e se encontram acima do longo: um triângulo. Com 3, 4 e 8, deite o de 8 e ponha os de 3 e 4 nas pontas. Por mais que você incline, eles não se encontram: mesmo deitados sobre o de 8, só cobrem 7. Com 3, 4 e 7, as pontas só se tocam quando os dois curtos ficam deitados sobre o longo. O “triângulo” não tem altura nem área. Na geometria, não é triângulo porque seus três vértices estão numa reta.

Em cima: 3 e 4 juntos são maiores que 5, então se encontram acima dele. No meio: 3 + 4 = 7 fica plano. Embaixo: 3 + 4 é menor que 8, então as pontas nunca se encontram.

Dois lados quaisquer somam mais que o terceiro

Os canudos seguem uma regra: a desigualdade triangular. Em todo triângulo, a soma de dois lados quaisquer é maior que o terceiro: a + b > c, b + c > a e c + a > b. São três desigualdades, mas não é preciso conferir todas. Só a do maior lado pode falhar, pois qualquer lado mais uma quantidade positiva supera um lado menor. O teste rápido é somar os dois mais curtos e comparar com o mais longo. Se a soma for maior, há triângulo. Se for igual ou menor, não há.

Pense na volta para casa passando por uma loja de conveniência. A menos que a loja esteja exatamente no caminho reto, o desvio é mais longo que ir direto. Casa, escola e loja são os três vértices de um triângulo, e o caminho reto é um lado, sempre menor que os outros dois juntos. Por isso as pessoas atravessam parques na diagonal e abrem trilhas na grama.

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Um triângulo baixo e achatado. Arraste C para baixo, em direção a AB. O ângulo C se aproxima de 180° e o triângulo afina: a soma de AC e CB fica cada vez mais próxima de AB, mas você não pode igualá-las no laboratório porque o triângulo desapareceria.

Quanto pode medir o terceiro lado?

A regra também limita um lado desconhecido. Suponha lados de 5 cm e 9 cm. O terceiro, c, precisa satisfazer 5 + 9 > c, então c < 14. Também precisa satisfazer c + 5 > 9, então c > 4. Juntas: 4 < c < 14. Em geral, o terceiro lado fica estritamente entre a diferença e a soma dos outros dois. Se as medidas forem centímetros inteiros, as opções são 5, 6, 7 e assim até 13: nove comprimentos possíveis.

Os triângulos isósceles trazem uma armadilha clássica. Dois lados de um triângulo isósceles medem 4 e 9. O terceiro lado é 4 ou 9? Teste 4: os lados 4, 4, 9 não servem, porque 4 + 4 = 8 é menor que 9. Então o terceiro lado tem de ser 9, os lados são 4, 9, 9 e o perímetro é 22.

O maior lado fica oposto ao maior ângulo

Um segundo fato acompanha o primeiro. Num triângulo, o maior de dois lados fica oposto ao maior ângulo; por isso o lado mais longo se opõe ao maior ângulo, e o mais curto, ao menor. Afaste um vértice do lado oposto: o ângulo nesse vértice e o lado de frente crescem juntos. Assim você sabe, sem medir, que a hipotenusa de um triângulo retângulo é o maior lado: ela se opõe ao ângulo de 90°, e os outros dois são menores.

ContextoEuclides demonstra a desigualdade triangular na proposição 20 do livro I: em todo triângulo, dois lados quaisquer somam mais que o restante. Ele usa a proposição 19, segundo a qual o maior ângulo tem o maior lado oposto. Na edição de D. E. Joyce, as notas ligam o resultado à ideia de que a reta é o caminho mais curto e recontam um problema resolvido por Heron de Alexandria. Dois pontos estão do mesmo lado de uma reta e você deve ir de um à reta e depois ao outro pelo caminho mais curto. A resposta é o trajeto em que o ângulo de entrada é igual ao de saída, como a luz num espelho; a demonstração usa a proposição 20.
  1. Varetas de 2, 3 e 6 cm podem formar um triângulo?
    • Não
    • Sim
  2. Varetas de 5, 7 e 10 cm podem formar um triângulo?
    • Sim
    • Não
  3. Varetas de 4, 4 e 8 cm podem formar um triângulo?
    • Não, ficam alinhadas
    • Sim, um isósceles
    • Sim, um equilátero
    • Sim, um retângulo
  4. Qual conjunto de comprimentos forma um triângulo?
    • 6, 8, 10
    • 1, 2, 3
    • 2, 5, 9
    • 3, 3, 7
  5. Dois lados medem 5 cm e 9 cm. O terceiro mede um número inteiro de centímetros. Quantos comprimentos são possíveis?
  6. Dois lados medem 7 e 12. Qual é o menor comprimento inteiro possível para o terceiro?
  7. Dois lados medem 3 e 10. Qual é o maior comprimento inteiro possível para o terceiro?
  8. Um triângulo isósceles tem dois lados de 4 e 9 (um deles se repete). Qual é o perímetro?
  9. No triângulo ABC, A = 80°, B = 60°, C = 40°. Qual é o maior lado?
    • BC
    • AC
    • AB
    • Todos iguais
  10. Por que as pessoas atravessam um gramado na diagonal em vez de contornar dois lados?
    • Um lado do triângulo é menor que os outros dois juntos
    • A diagonal tem um ângulo reto
    • A grama alonga os caminhos
    • A diagonal é o maior lado
Erros comuns
  • “3, 4 e 7 formam um triângulo bem achatado.” Quando os dois lados curtos somam exatamente o longo, os três vértices ficam numa reta. Não há altura nem área, então não é triângulo. A desigualdade precisa ser estrita: maior que, não igual a.
  • “Conferi 3 + 8 > 4, então 3, 4, 8 serve.” Somar qualquer coisa ao maior lado sempre supera um lado menor, então essa conferência não prova nada. Some os dois menores e compare com o maior: 3 + 4 = 7 < 8.
  • “Dois lados medem 5 e 9, então o terceiro fica entre 5 e 9.” O terceiro pode ser menor que ambos ou maior que ambos. Os limites reais são a diferença e a soma: 4 < c < 14. Um lado de 13 ou de 4.5 é permitido.
Nota do professorO currículo coreano de 2022 não lista a desigualdade triangular como objetivo separado; ela aparece nos anos finais, ao construir um triângulo com três comprimentos dados e explicar o processo. É uma boa atividade de descoberta. Distribua canudos de 3, 4, 5, 7 e 8 cm e deixe os estudantes descobrirem quais trios fecham. Discuta o caso 3, 4, 7: alguns vão pressionar os canudos até formar um triângulo fino e dizer que deu certo. Pergunte qual é a área dele.
Pontos-chave
  • Dois lados quaisquer de um triângulo somam mais que o terceiro.
  • Teste rápido: os dois menores lados precisam somar mais que o maior.
  • Terceiro lado c de um triângulo com lados a e b: |a − b| < c < a + b.
  • O maior lado fica oposto ao maior ângulo.
Fontes deste curso (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Data de verificação: 2026-10-19