edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи›Треугольники

Какие три длины образуют треугольник

Палочки 3 см, 4 см и 8 см не соединить в треугольник. Короткие вместе дают лишь 3 + 4 = 7 см, на сантиметр меньше длинной.

Сначала оцени три набора соломинок

Сначала задача, правила потом. У тебя три связки соломинок, нарезанных такой длины в сантиметрах: 3, 4 и 5; 3, 4 и 7; 3, 4 и 8. В каких связках три соломинки можно приложить друг к другу концами так, чтобы получился замкнутый треугольник? Сделай предположение для каждой связки, а если рядом есть соломинки и ножницы, нарежь их и проверь. Большинство людей верно отвечают про первую и последнюю связку и сомневаются насчёт средней.

Вот что происходит. При длинах 3, 4 и 5 две короткие соломинки наклоняются друг к другу и сходятся над длинной: получается треугольник. При 3, 4 и 8 положи соломинку 8 и поставь 3 и 4 на её концах. Как их ни наклонять, кончики не встретятся: даже лёжа вдоль 8, они покрывают лишь 7. При 3, 4 и 7 кончики встречаются только тогда, когда обе короткие соломинки лежат на длинной. У такого «треугольника» нет ни высоты, ни площади. В геометрии его не считают треугольником, поскольку все три вершины лежат на одной прямой.

Вверху: 3 и 4 вместе больше 5 и сходятся над ней. Посередине: 3 + 4 = 7, соломинки лежат вдоль длинной. Внизу: 3 + 4 меньше 8, концы никогда не сойдутся.

Сумма любых двух сторон больше третьей

Соломинки подчиняются одному правилу, неравенству треугольника. В любом треугольнике сумма двух любых сторон больше третьей: a + b > c, b + c > a и c + a > b. Неравенств три, но проверять все не нужно. Проблему может вызвать только самая длинная сторона, поскольку любая сторона плюс положительное число всегда больше более короткой стороны. Поэтому быстрая проверка такая: сложи две меньшие длины и сравни с наибольшей. Если сумма больше, треугольник существует. Если она равна или меньше, треугольника нет.

Представь путь домой с заходом в небольшой магазин. Если магазин не стоит точно на прямой дороге, обход длиннее прямого пути домой. Дом, школа и магазин — три вершины треугольника, а прямой маршрут — одна его сторона, всегда более короткая, чем две другие вместе. Поэтому люди срезают путь через парк по диагонали и вытаптывают тропинку на траве.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Низкий, сплюснутый треугольник. Перетаскивай C вниз к стороне AB. Угол C приближается к 180°, а треугольник становится тоньше: сумма AC и CB всё ближе к длине AB. Но лаборатория не позволяет им сравняться, потому что тогда треугольник исчезнет.

Какой может быть третья сторона?

Правило ограничивает и неизвестную сторону. Пусть две стороны равны 5 см и 9 см. Третья сторона c должна удовлетворять 5 + 9 > c, значит, c < 14. Также должно быть c + 5 > 9, значит, c > 4. Вместе получаем 4 < c < 14. Вообще третья сторона лежит строго между разностью и суммой двух других. Если длины должны выражаться целыми сантиметрами, возможны 5, 6, 7 и так далее до 13: всего девять длин.

С равнобедренными треугольниками связана классическая ловушка. Две стороны равны 4 и 9. Третья равна 4 или 9? Попробуй 4: стороны 4, 4, 9 не подходят, потому что 4 + 4 = 8 меньше 9. Значит, третья сторона должна равняться 9, стороны равны 4, 9, 9, а периметр 22.

Против наибольшей стороны лежит наибольший угол

Рядом с первым фактом идёт второй. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Поэтому самая длинная сторона всегда лежит против наибольшего угла, а самая короткая — против наименьшего. Оттяни вершину от противоположной стороны: и угол при ней, и противолежащая сторона увеличиваются вместе. Так без измерений можно понять, почему гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника: она лежит против угла 90°, а два других угла меньше.

КонтекстЕвклид доказывает неравенство треугольника в предложении 20 книги I: в любом треугольнике сумма любых двух сторон больше оставшейся. Доказательство опирается на предложение 19: против большего угла лежит большая сторона. В примечаниях издания Д. Э. Джойса результат связан с мыслью, что прямая является кратчайшим путём, и пересказана задача, решённая Героном Александрийским. Две точки лежат по одну сторону прямой, и нужно пройти от одной точки к прямой, а затем к другой точке кратчайшим путём. Ответ — маршрут, где угол входа равен углу выхода, как при отражении света от зеркала; доказательство использует предложение 20.
  1. Можно ли из палочек 2, 3 и 6 см составить треугольник?
    • Нет
    • Да
  2. Можно ли составить треугольник из палочек 5, 7 и 10 см?
    • Да
    • Нет
  3. Можно ли составить треугольник из палочек 4, 4 и 8 см?
    • Нет, они лягут на одну прямую
    • Да, равнобедренный
    • Да, равносторонний
    • Да, прямоугольный
  4. Какой набор длин образует треугольник?
    • 6, 8, 10
    • 1, 2, 3
    • 2, 5, 9
    • 3, 3, 7
  5. Две стороны 5 см и 9 см, третья — целое число сантиметров. Сколько длин возможно?
  6. Две стороны 7 и 12. Какова наименьшая целая третья сторона?
  7. Две стороны 3 и 10. Какова наибольшая целая третья сторона?
  8. У равнобедренного треугольника две из сторон равны 4 и 9 (одна из них повторяется). Каков периметр?
  9. В треугольнике ABC углы A = 80°, B = 60°, C = 40°. Какая сторона самая длинная?
    • BC
    • AC
    • AB
    • Все равны
  10. Почему газон пересекают по диагонали, а не вдоль двух краёв?
    • Одна сторона треугольника короче двух остальных вместе
    • У диагонали прямой угол
    • Трава удлиняет путь
    • Диагональ — самая длинная сторона
Частые ошибки
  • «3, 4 и 7 образуют очень плоский треугольник». Когда сумма двух коротких сторон точно равна длинной, три вершины лежат на одной прямой. У такой фигуры нет ни высоты, ни площади, поэтому это не треугольник. Неравенство должно быть строгим: «больше», а не «равно».
  • «Я проверил 3 + 8 > 4, значит, 3, 4, 8 подходят». Если к самой длинной стороне прибавить любую другую, сумма всегда больше короткой стороны, поэтому такая проверка ничего не доказывает. Сложи две самые короткие стороны и сравни с самой длинной: 3 + 4 = 7 < 8.
  • «Две стороны 5 и 9, значит, третья между 5 и 9». Третья сторона может быть короче обеих других или длиннее обеих. Настоящие границы задают разность и сумма: 4 < c < 14. Длина 13 или 4.5 допустима.
Заметка для учителяВ корейской программе 2022 года неравенство треугольника не выделено отдельным стандартом достижений: оно появляется в средней школе, когда ученики строят треугольник по трём заданным длинам и должны объяснить свой способ. Это удобная исследовательская задача. Раздай соломинки по 3, 4, 5, 7 и 8 см и предложи найти, какие тройки замыкаются. Стоит обсудить случай 3, 4, 7: кто-то сложит соломинки в тонкий треугольник и объявит это успехом. Спроси, какова его площадь.
Главное
  • Сумма любых двух сторон больше третьей.
  • Быстрая проверка: две короткие вместе длиннее наибольшей.
  • Третья сторона c треугольника со сторонами a и b: |a − b| < c < a + b.
  • Наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла.
Источники курса (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Проверено: 2026-10-19