edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи›Треугольники

Сумма углов и внешний угол

Оторви три угла бумажного треугольника и совмести вершины. Вместе они образуют развёрнутый угол 180°, независимо от формы.

Оторви углы и сложи рядом

Нарисуй на ненужном листке любой треугольник и вырежи его. Отметь каждую вершину точкой, чтобы различать кончики. Теперь оторви три угла и положи их рядом так, чтобы точки встретились в одном месте, а края соприкоснулись. Внизу оторванные кусочки образуют прямую линию. Повтори с длинным узким и почти равносторонним треугольниками. Каждый раз углы складываются одинаково. Вместе три угла треугольника образуют развёрнутый угол, 180°.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Три цветных угла скопированы рядом внизу справа. Перетаскивай вершины: углы меняются, но вместе остаются развёрнутым. В строке «Сумма» всегда 180°.

Отрывание и перетаскивание подсказывают ответ, но не доказывают. Бумага рвётся неровно, экран округляет до десятой градуса, о чём сказано на панели. Проверка десяти или тысячи треугольников охватывает только некоторые. Доказательство должно работать для всех сразу, даже никем не нарисованных.

Одна параллель превращает опыт в доказательство

В доказательстве OpenStax, восходящем к Евклиду, проводят одну дополнительную прямую. Через верхнюю вершину C проведи прямую, параллельную основанию AB. Рассмотри три угла вдоль этой прямой при C. Левый и угол A являются накрест лежащими при параллельных прямых, поэтому равны. Правый и угол B тоже накрест лежащие и равны. Средний — сам угол C. Вместе они образуют развёрнутый угол на прямой через C, поэтому их сумма равна 180°. Замени крайние углы на A и B и получишь A + B + C = 180°. Рассуждение никак не зависит от формы треугольника.

Пунктирная прямая ℓ проходит через C параллельно AB. Синий угол при C равен углу A, а зелёный равен углу B, потому что каждая пара — накрест лежащие углы. Вместе с углом C посередине они образуют развёрнутый угол.
КонтекстПредложение 32 книги I «Начал» Евклида в издании Д. Э. Джойса из Университета Кларка формулирует результат по-старому: три внутренних угла треугольника вместе равны двум прямым углам. В примечаниях Джойс поясняет, почему предложение расположено так поздно в книге I. Для доказательства нужны параллельные прямые, а постулата о параллельных Евклид, по-видимому, избегал, пока без него нельзя было обойтись. Там же приведены два следствия позднейшего комментатора Прокла. Одно утверждает, что сумма внешних углов выпуклой фигуры равна четырём прямым углам, то есть в современной записи 360°.

Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним

Продолжи одну сторону треугольника за вершину. Угол между продолжением и соседней стороной называется внешним. При вершине C внешний угол и внутренний угол C лежат рядом на прямой, поэтому внешний угол = 180° − C. Но A + B тоже равно 180° − C. Значит, внешний угол при C равен A + B, сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Евклид утверждает это в том же предложении 32 до теоремы о сумме углов. Если A = 40° и B = 65°, внешний угол при C равен 105°. Находить сам C, равный 75°, не потребовалось.

Сторона BC продлена до точки D. Фиолетовый внешний угол ACD равен сумме углов A и B.
Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Внешний угол включён. Перетаскивай A или B и сравни фиолетовое число с суммой углов A и B.

Возьми по одному внешнему углу при каждой вершине и сложи их. Каждый внешний угол равен 180° минус соответствующий внутренний, поэтому все три вместе дают 3 × 180° − 180° = 360°. Тот, кто один раз обходит треугольный парк по периметру, делает один полный оборот. Это следствие Прокла для треугольника.

Находим недостающие углы с помощью алгебры

Теорема о сумме углов превращает многие задачи с рисунками в уравнения на одну строку. OpenStax приводит треугольник с углами x, x + 17 и 3x − 62 градусов. Складываем: 5x − 45 = 180, откуда 5x = 225 и x = 45. Три угла равны 45°, 62° и 73°, и их сумма действительно 180°. Всегда заканчивай этой проверкой: алгебраическая ошибка обнаружится сразу. Для равнобедренного треугольника помни, что углы при основании равны. Если угол при вершине 40°, на каждый угол при основании остаётся (180 − 40) ÷ 2 = 70°.

Внутренние углы: A + B + C = 180°. Внешний угол при C = A + B. По одному внешнему углу при каждой вершине: в сумме 360°.

  1. Два угла треугольника 55° и 82°. Найди третий.
  2. Два угла треугольника 26° и 98°. Найди третий.
  3. Один острый угол прямоугольного треугольника равен 28°. Найди другой острый угол.
  4. В треугольнике ABC угол A = 40°, угол B = 65°. Каков внешний угол при C?
  5. Внешний угол треугольника 130°, а один из двух не смежных с ним внутренних углов 50°. Найди другой не смежный угол.
  6. Углы треугольника равны x°, (x + 17)° и (3x − 62)°. Найди x.
  7. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Чему равен наибольший?
  8. Возьми по одному внешнему углу при каждой вершине треугольника. Какова их сумма?
  9. Каждый угол при основании равнобедренного треугольника равен 52°. Найди угол между равными сторонами.
  10. Почему оторвать углы у десяти треугольников — не доказательство?
    • Проверены только эти десять и лишь приблизительно
    • У бумажных треугольников больше 180°
    • Отрывание сильно меняет углы
    • Для доказательства нужен транспортир
Частые ошибки
  • «Внешний угол при C равен 180° − C, поэтому он не связан с A и B». Верно и то и другое: 180° − C и A + B — одно число. A + B часто экономит шаг, не требуя искать C.
  • «У большего треугольника больше сумма углов». При увеличении треугольника его стороны становятся длиннее, а все углы остаются прежними. Их сумма равна 180° и у треугольника на почтовой марке, и у треугольника через всё футбольное поле.
  • «Экран складывает три угла и получает 179.9°, значит, правило неверно». В лаборатории каждый угол округлён до 0.1°, поэтому три округлённых числа могут не сойтись на 0.1. Точная сумма в строке «Сумма» равна 180°.
Заметка для учителяПо национальной учебной программе Южной Кореи 2022 года в 3–4 классах начальной школы сумму углов треугольника и четырёхугольника обосновывают разными способами; отрывание углов и измерение относятся к этому этапу. В средней школе возвращаются к внутренним и внешним углам треугольников и многоугольников. Доказательство с параллельными использует накрест лежащие углы, изученные чуть раньше на том же этапе. Ученики, измерявшие углы в начальной школе, часто считают, что уже доказали результат. Спроси, откуда им известно, что правило верно для треугольника с углом 179°.
Главное
  • Внутренние углы любого треугольника: A + B + C = 180°.
  • Доказательство: параллель к AB через C и две пары накрест лежащих углов.
  • Внешний угол при C = A + B, то есть сумма двух не смежных с ним внутренних углов.
  • По одному внешнему углу при каждой вершине: в сумме 360°.
Источники курса (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Проверено: 2026-10-19