edubun
日本語
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
ホーム›図形と作図›三角形

内角の和と外角

紙の三角形の三つの角をちぎり、頂点を合わせて並べましょう。どんな形でも一直線、180°になります。

角をちぎって並べる

不要な紙に、どんな形でもよいので三角形を描き、切り抜きます。どの先端か分かるよう、各頂点に点を付けます。次に3つの角をちぎり取り、3つの点が1か所に集まり、辺どうしが接するように横に並べます。ちぎった部分は隙間なく合わさり、下側が一直線になります。細長い三角形や、正三角形に近い三角形でも試しましょう。どの場合も同じようにぴったり合います。三角形の3つの角を合わせると、180°の平角になります。

読み込み中

ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

右下に三つの色付き角を並べています。頂点を動かすと各角は変わっても、合わせると平角です。「和」は180°のままです。

ちぎる方法も動かす方法も答えを示しますが、どちらも証明ではありません。紙は均一にちぎれませんし、画面は各角を小数第一位に丸めていて、パネルにもそう書かれています。十個の三角形で試しても千個で試しても、調べたのは一部の三角形にすぎません。証明は、まだ誰も描いていない三角形も含め、すべての三角形に同時に通用する必要があります。

一本の平行線で実験を証明に

ユークリッドにさかのぼるOpenStaxの証明では、補助線を1本引きます。上の頂点Cを通り、底辺ABに平行な直線を引きましょう。Cのところで、その新しい直線に沿って並ぶ3つの角を見ます。左の角と角Aは、2本の平行線の間の錯角なので等しくなります。右の角と角Bも錯角なので等しくなります。中央は角Cそのものです。この3つの角はCを通る一直線を埋めるので、和は180°です。両端の角をAとBに置き換えると、A + B + C = 180°が得られます。この論証は、三角形の形にはまったく依存していません。

破線ℓはCを通り、ABに平行です。Cの青い角は角Aと等しく、緑の角は角Bと等しくなります。それぞれが錯角の組だからです。中央の角Cと合わせると、一直線を埋めます。
背景クラーク大学のD. E. ジョイス版『原論』第I巻の命題32では、この結果を古い言い方で、三角形の3つの内角の和は2直角に等しいと述べています。ジョイスの注では、この命題が第I巻のこれほど後ろに置かれている理由も説明しています。証明には平行線が必要で、ユークリッドは平行線公準を、使わずには済まなくなるまで避けていたようなのです。同じ注には、後世の注釈者プロクロスによる2つの系も記されています。その1つは、凸図形の外角の和は4直角、現代の表現では360°になるというものです。

外角は隣り合わない二つの内角の和

三角形の一辺を頂点の先へ延ばします。延長した辺と隣の辺がつくる角が外角です。頂点Cでは、外角と内角Cが一直線上に並んで隣り合うので、外角 = 180° − Cです。ところがA + Bも180° − Cに等しくなります。したがって、Cの外角は、隣り合わない二つの内角の和A + Bに等しくなります。ユークリッドは同じ命題32で、これを角の和より先に述べています。A = 40°、B = 65°なら、Cの外角は105°で、Cを求める必要はありません。ちなみにCは75°です。

BCをDまで延ばしています。紫の外角ACDはAとBの和です。
読み込み中

ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

外角を表示しています。AかBを動かし、紫の数とA、Bの和を比べましょう。

各頂点で外角を一つずつ取って足します。各外角は180°から内角を引いた角なので、三つの合計は3 × 180° − 180° = 360°です。三角形の公園を一周する人は、ちょうど一回転分だけ向きを変えます。これが三角形についてのプロクロスの系です。

文字式で角を求める

内角の和を使うと、図の問題の多くが一行の方程式になります。OpenStaxには、角がx度、x + 17度、3x − 62度の三角形の例があります。足すと5x − 45 = 180、5x = 225、x = 45です。三つの角は45°、62°、73°で、確かに和は180°になります。最後に必ずこの確認をしましょう。計算の誤りがすぐに分かります。二等辺三角形では二つの底角が等しいので、頂角が40°なら、各底角は(180 − 40) ÷ 2 = 70°です。

内角：A + B + C = 180°。Cの外角 = A + B。各頂点の外角の和：360°。

  1. 二つの角が55°と82°です。残りを求めましょう。
  2. 二つの角が26°と98°です。残りを求めましょう。
  3. 直角三角形の一つの鋭角が28°です。もう一つの鋭角を求めましょう。
  4. 三角形ABCで、A = 40°、B = 65°です。Cの外角は何度ですか？
  5. 三角形の外角が130°で、隣り合わない二つの内角の一方が50°です。もう一方の内角を求めましょう。
  6. 角がx°、(x + 17)°、(3x − 62)°です。xを求めましょう。
  7. 角の比が1 : 2 : 3です。最大の角は？
  8. 三角形の各頂点で外角を一つずつ取ります。その和は何度ですか？
  9. 二等辺三角形の各底角が52°です。等しい二辺の間の角を求めましょう。
  10. 紙の三角形十枚の角をちぎっても証明にならないのはなぜですか？
    • その十枚だけを、しかも大まかに調べているから
    • 紙の三角形は180°を超えるから
    • ちぎると角が大きく変わるから
    • 証明には分度器が必要だから
よくある間違い
  • 「Cの外角は180° − CなのでA、Bとは無関係です」 両方同時に成り立ちます。180° − CとA + Bは同じ値です。A + BならCを求める手間を省けます。
  • 「大きな三角形は角の和も大きいです」 三角形を拡大すると辺は長くなりますが、どの角も元のままです。切手の上の三角形でも、サッカー場いっぱいに描いた三角形でも、角の和は180°です。
  • 「画面の和が179.9°なので規則は間違いです」 各角を0.1°単位に丸めるため、和が0.1ずれることがあります。「和」の正確な値は180°です。
先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、小学校3～4年で、三角形と四角形の角の和をいくつかの方法で考えます。角をちぎって並べたり、角度を測ったりする活動はここに入ります。中学校では三角形や多角形の内角と外角を再び扱い、平行線を使う論証には、同じ学年区分で少し前に学ぶ錯角を使います。小学校で測定した学習者は、測ったことですでに証明できたと思いがちです。1つの角が179°の三角形にも、この規則が成り立つとどうして分かるのか尋ねましょう。
ポイント
  • どの三角形でもA + B + C = 180°です。
  • 証明に使うのは、Cを通りABに平行な直線と、二組の錯角です。
  • Cの外角 = A + B、隣り合わない二内角の和です。
  • 各頂点で一つずつ外角を取ると和は360°です。
このコースの出典 (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

確認日: 2026-10-19