辺と角による三角形の分類
辺が5、5、8 cmの三角形は二等辺三角形で、鈍角三角形でもあります。前者は辺、後者は最大の角（約106°）による名前です。
二枚の三角定規、異なる形
数学の筆箱をのぞくと、プラスチックの三角定規が二枚入っていることがよくあります。一方の角は45°、45°、90°、もう一方は30°、60°、90°です。どちらも直角三角形ですが、取り違える人はいません。違いは辺にあります。前者は二辺の長さが等しく、後者は三辺とも異なります。つまり、一つの三角形が二つの別々の問いに答えます。三辺はたがいにどう比べられるか。最大の角はどれだけの大きさか。問いごとに三角形の名前が決まり、二つの名前は互いに影響しません。
まず、何を三角形と呼ぶのか確認します。OpenStaxでは、一直線上にない3点を線分で結んでできる図形を三角形と説明しています。点が頂点、線分が辺です。同じ教科書の命名方法を使うと、後で混乱せずに済みます。頂点に従って三角形をΔABCと呼び、各辺には向かいの頂点と同じ小文字を付けます。つまり辺aは角Aの向かい、辺bは角Bの向かい、辺cは角Cの向かいです。単元3では、最も長い辺の向かいに必ず最も大きい角があることを示す際に、この対応をそのまま使います。
辺による三つの分類
3辺がすべて等しい三角形が正三角形です。2辺が等しい三角形が二等辺三角形です。二等辺三角形では残りの辺を底辺といい、底辺の両端にある2つの角を底角といいます。等しい辺が1組もない三角形は不等辺三角形です。図では長さを書かず、同じ短い印を付けて等しい辺を示します。2辺に短い線が1本ずつあれば、その2辺は等しいという意味です。線が2本付いた辺は、同じく2本の線が付いた辺とのみ等しいことを示します。
正三角形は二等辺三角形でもあるのでしょうか。「少なくとも二辺が等しい」という定義どおりに考えると、答えはそうです。三辺が等しい三角形は、もちろん二辺も等しいからです。正方形と長方形の関係と同じです。正三角形はすべて二等辺三角形ですが、辺が5、5、8の二等辺三角形は正三角形ではありません。二等辺三角形を「ちょうど二辺が等しい」と定義する本もあります。その場合は二つの名前が重ならなくなるので、使っている教科書の定義を確認しましょう。
最大の角による三つの分類
OpenStaxは角による分類を三つの短い規則で示しています。鋭角三角形は、三つの角がすべて90°未満です。直角三角形は一つの角がちょうど90°で、その角に小さな四角印を付けます。鈍角三角形は一つの角が90°より大きく180°未満です。なぜ二つではなく一つなのでしょうか。三つの角の和は常に180°で、これは次の単元で証明します。90°以上の角が二つあると、それだけで180°を使い切り、三つ目の角に残りがなくなります。したがって、どの三角形にも少なくとも二つの鋭角があり、三つの名前のどれになるかは最大の角だけで決まります。
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可能な組み合わせ
二つの名前は別々の問いへの答えなので、組み合わせられます。下の表に、各組み合わせの例を一つずつ示しています。二か所は空欄のままです。正三角形では、等しい辺の向かいの角も等しいので、各角は180° ÷ 3 = 60°です。直角にも鈍角にもなりません。冒頭の5、5、8の三角形は、二等辺で鈍角のマスに入ります。二つの底角はそれぞれ約36.9°、等しい二辺の間の角は約106.3°です。
| 鋭角三角形 | 直角三角形 | 鈍角三角形 | |
|---|---|---|---|
| 正三角形 | 60°, 60°, 60° | なし | なし |
| 二等辺三角形 | 70°, 70°, 40° | 45°, 45°, 90° | 30°, 30°, 120° |
| 不等辺三角形 | 50°, 60°, 70° | 30°, 60°, 90° | 20°, 40°, 120° |
| 正三角形 | 三辺が等しく、各角は60° |
| 二等辺三角形 | 少なくとも二辺が等しく、底角は等しい |
| 鋭角三角形 | すべての角が90°未満 |
| 直角三角形 | 一つの角がちょうど90° |
| 鈍角三角形 | 一つの角が90°より大きく180°未満 |
| 辺a | 角Aの向かいの辺 |
- 角が88°、32°、60°です。どの三角形ですか？
- 鋭角三角形
- 直角三角形
- 鈍角三角形
- 存在しない
- 角が65°、90°、25°です。どの三角形ですか？
- 直角三角形
- 鋭角三角形
- 鈍角三角形
- 正三角形
- 角が30°、120°、30°です。どの組み合わせですか？
- 鈍角で二等辺
- 鋭角で二等辺
- 鈍角で正三角形
- 直角で二等辺
- 存在しないのはどれですか？
- 直角の正三角形
- 直角の二等辺三角形
- 鈍角の二等辺三角形
- 三辺が異なる直角三角形
- 辺が4 cm、6 cm、9 cmです。辺で分類すると？
- 三辺が異なる不等辺三角形
- 二等辺三角形
- 正三角形
- 直角三角形
- 二等辺三角形の等しい二辺にはさまれた角が40°です。各底角は何度ですか？
- 正三角形の周の長さは93インチです。各辺の長さは？
- 鋭角は少なくとも何個ありますか？
- 正三角形の各角は何度ですか？
- 辺が5、5、8です。8²と5² + 5²を比べると、この三角形は何ですか？
- 鈍角三角形
- 直角三角形
- 鋭角三角形
- 正三角形
- 「直角があると不釣り合いになるので二等辺にはなりません」 45°、45°、90°の定規は両方です。直角をはさむ辺が等しくなります。辺と角は別に分類するので、それぞれの名前を持てます。
- 「鋭角が一つあれば鋭角三角形です」 直角や鈍角の三角形にも少なくとも二つ鋭角があります。名前は最大の角で決まり、鋭角三角形ならすべて90°未満です。
- 「正三角形は二辺でなく三辺が等しいので二等辺ではありません」 通常の「二辺が等しい」という定義なら三辺にも含まれます。正方形が長方形ではないというのと同じです。授業で使う定義を確かめましょう。
- 辺による分類は、正三角形（3辺が等しい）、二等辺三角形（2辺が等しい）、3辺がすべて異なる三角形です。
- 最大の角による分類は、鋭角三角形（すべて90°未満）、直角三角形（一つが90°）、鈍角三角形（一つが90°より大きい）です。
- どの三角形にも少なくとも二つの鋭角があります。
- 辺aは角Aの向かいです。正三角形には60°が三つあります。
このコースの出典 (7)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
- 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
- OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
- History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).
確認日: 2026-10-19