Types de triangles selon les côtés et les angles

Un triangle de côtés 5, 5 et 8 cm est à la fois isocèle et obtusangle. Le premier nom vient de ses côtés, le second de son plus grand angle, environ 106°.

Deux équerres, deux formes différentes

Dans une trousse de mathématiques, on trouve souvent deux équerres en plastique. L'une a des angles de 45°, 45° et 90°, l'autre de 30°, 60° et 90°. Ce sont deux triangles rectangles, mais personne ne les confondrait. La différence vient des côtés. La première a deux côtés de même longueur ; dans la seconde, les trois sont différents. Un seul triangle répond donc à deux questions distinctes. Comment ses trois côtés se comparent-ils ? Et combien mesure son plus grand angle ? Chaque question lui donne un nom, indépendant de l'autre.

D'abord, qu'est-ce qu'un triangle ? OpenStax le présente ainsi : relie par des segments trois points non alignés, et tu obtiens un triangle. Les points sont ses sommets et les segments ses côtés. Une convention du même livre évite des difficultés ensuite : nomme-le ΔABC d'après ses sommets et donne à chaque côté la lettre minuscule du sommet opposé. Le côté a est opposé à l'angle A, b à B et c à C. Dans l'unité 3, tu utiliseras cette correspondance pour voir que le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle.

Trois cas selon les côtés

Si les trois côtés sont égaux, le triangle est équilatéral. Si deux le sont, il est isocèle. Dans un triangle isocèle, le troisième côté s'appelle la base et les angles à ses extrémités sont les angles à la base. Si aucun côté n'est égal à un autre, le triangle est quelconque. Les dessins signalent les côtés égaux par les mêmes marques plutôt que par leurs longueurs : un trait sur deux côtés indique leur égalité ; un côté à deux traits ne correspond qu'aux autres à deux traits.

Un triangle équilatéral est-il aussi isocèle ? Avec la définition « au moins deux côtés égaux », oui : trois côtés égaux en comprennent bien deux. C'est la même relation qu'entre carrés et rectangles. Tout équilatéral est isocèle, mais un isocèle de côtés 5, 5 et 8 n'est pas équilatéral. Certains livres définissent isocèle par exactement deux côtés égaux ; les noms ne se recouvrent alors plus. Vérifie la définition de ton manuel.

Trois autres cas selon le plus grand angle

OpenStax classe les triangles par angles en trois règles courtes. Dans un acutangle, les trois angles sont inférieurs à 90°. Un triangle rectangle possède un angle d'exactement 90°, marqué d'un petit carré. Un obtusangle possède un angle entre 90° et 180°. Pourquoi un, et pas deux ? Les trois angles font toujours 180°, comme tu le démontreras ensuite. Deux angles de 90° ou plus prendraient déjà les 180° sans rien laisser au troisième. Tout triangle a donc au moins deux angles aigus, et seul le plus grand détermine lequel des trois noms il reçoit.

Quelles combinaisons peuvent exister

Comme les deux noms répondent à des questions différentes, ils se combinent. Le tableau donne un exemple pour chaque paire. Deux cases restent vides. Un équilatéral a trois angles égaux, car des côtés égaux sont opposés à des angles égaux ; chacun mesure 180° ÷ 3 = 60°. Il ne peut jamais être rectangle ni obtusangle. Le triangle 5, 5, 8 du début est dans la case isocèle et obtusangle : ses angles à la base font environ 36.9° chacun et l'angle entre les côtés égaux environ 106.3°.