La somme des angles et l'angle extérieur

Déchire les trois coins d'un triangle en papier et rassemble leurs pointes. Ils forment une ligne droite, 180°, quel que soit le triangle de départ.

Déchire les coins et aligne-les

Dessine un triangle de forme quelconque sur un brouillon et découpe-le. Marque chaque sommet d'un point pour les distinguer. Déchire les trois coins et pose-les côte à côte, les trois points réunis et les bords en contact. Les morceaux forment une ligne droite en bas. Recommence avec un triangle long et fin puis un presque équilatéral. Ils s'ajustent toujours pareil. Les trois coins réunis forment un angle plat de 180°.

Déchirer et déplacer suggèrent la réponse, sans la démontrer. Le papier se déchire irrégulièrement et l'écran arrondit chaque angle au dixième de degré, comme le précise le panneau. Tester dix triangles, ou mille, revient toujours à n'en tester que certains. Une démonstration doit fonctionner pour tous, même ceux que personne n'a dessinés.

Une parallèle transforme l'expérience en démonstration

La démonstration d'OpenStax, qui remonte à Euclide, trace une droite supplémentaire. Par le sommet du haut C, trace la droite parallèle à la base AB. Regarde maintenant les trois angles qui se trouvent le long de cette nouvelle droite, en C. L'angle de gauche et l'angle A sont des angles alternes-internes entre deux droites parallèles, donc ils sont égaux. L'angle de droite et l'angle B sont eux aussi alternes-internes, donc égaux. L'angle du milieu est l'angle C lui-même. Ces trois angles remplissent une droite passant par C, donc leur somme vaut 180°. Remplace les deux angles extérieurs par A et B et tu obtiens A + B + C = 180°. Rien dans le raisonnement ne dépend de la forme du triangle.

L'angle extérieur est la somme des deux intérieurs non adjacents

Prolonge un côté d'un triangle au-delà d'un sommet. L'angle entre le prolongement et le côté suivant est un angle extérieur. Au sommet C, l'angle extérieur et l'angle intérieur C sont côte à côte sur une droite, donc angle extérieur = 180° − C. Mais A + B vaut aussi 180° − C. Par conséquent, l'angle extérieur en C est égal à A + B, la somme des deux angles intérieurs qui ne sont pas voisins de lui. Euclide l'énonce dans la même proposition 32, avant la somme des angles. Si A = 40° et B = 65°, l'angle extérieur en C vaut 105°, et tu n'as jamais eu besoin de trouver C, qui vaut 75°.

Prends un angle extérieur à chaque sommet et additionne-les. Chacun vaut 180° moins l'intérieur ; ensemble, ils font 3 × 180° − 180° = 360°. En faisant le tour d'un parc triangulaire, tu tournes d'un tour complet. C'est le corollaire de Proclus pour un triangle.

Trouver des angles inconnus avec l'algèbre

Avec la somme des angles, tu transformes bien des problèmes de figures en équations d'une ligne. OpenStax donne un triangle d'angles x, x + 17 et 3x − 62 degrés. Leur somme donne 5x − 45 = 180, donc 5x = 225 et x = 45. Les angles sont 45°, 62° et 73°, et font bien 180°. Termine toujours par cette vérification : une erreur d'algèbre apparaît aussitôt. Dans un isocèle, les angles à la base sont égaux ; un angle au sommet de 40° laisse (180 − 40) ÷ 2 = 70° pour chacun.