삼각형의 내각의 합과 외각

종이 삼각형의 세 귀퉁이를 찢어 꼭짓점끼리 모아 붙이면 어떤 삼각형이든 일직선을 이룹니다. 180°입니다.

세 귀퉁이를 찢어 한 줄로 모아 봅니다

이면지에 삼각형을 아무 모양으로나 그려 오려 내세요. 세 꼭짓점에 점을 하나씩 찍어 두면 어느 귀퉁이가 어디서 왔는지 헷갈리지 않습니다. 이제 세 귀퉁이를 찢어서 점 세 개가 한곳에 모이고 가장자리끼리 맞닿도록 나란히 놓습니다. 찢은 조각들의 아랫부분이 일직선으로 이어집니다. 가늘고 긴 삼각형으로도, 정삼각형에 가까운 것으로도 다시 해 보세요. 결과는 매번 같습니다. 삼각형의 세 각을 모으면 평각, 180°가 됩니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

오른쪽 아래에 세 각을 나란히 옮겨 붙여 두었습니다. 꼭짓점을 끌면 각 하나하나는 바뀌지만 셋을 합친 것은 여전히 평각이고, 합은 180°에서 움직이지 않습니다.

종이를 찢어 보는 것도, 화면에서 꼭짓점을 끄는 것도 답을 가리키기는 하지만 증명은 아닙니다. 종이는 반듯하게 찢어지지 않고, 화면은 각을 0.1°까지 반올림해 보여 줍니다. 아래 칸의 설명에도 그렇게 적혀 있습니다. 삼각형 열 개, 아니 천 개로 해 봐도 결국 몇 개의 삼각형으로만 해 본 셈이 됩니다. 증명은 아무도 그려 보지 않은 삼각형까지 포함해 모든 삼각형에 한꺼번에 들어맞아야 합니다.

평행선 하나로 실험을 증명으로 바꿉니다

증명은 선 하나를 더 그리는 데서 시작합니다. 꼭짓점 C를 지나고 밑변 AB와 평행한 직선을 긋습니다. 이제 C에서 그 직선을 따라 놓인 세 각을 봅니다. 왼쪽 각과 각 A는 평행선 사이의 엇각이라 크기가 같습니다. 오른쪽 각과 각 B도 엇각이라 크기가 같습니다. 가운데 각은 각 C 그 자체입니다. 이 세 각은 C를 지나는 직선 위에서 평각을 이루므로 합이 180°입니다. 바깥 두 각을 각 A, 각 B로 바꾸어 쓰면 ∠A + ∠B + ∠C = 180°가 됩니다. 이 논리 어디에도 삼각형의 모양은 쓰이지 않습니다. 찢어 붙인 실험이 그렇게 되는 까닭이 바로 이 엇각입니다.

점선 ℓ은 C를 지나고 AB와 평행합니다. C에 있는 파란 각은 각 A와, 초록 각은 각 B와 엇각이라 크기가 같습니다. 가운데의 각 C와 함께 세 각이 평각을 이룹니다.

배경클라크 대학교 D. E. 조이스가 정리한 유클리드 『원론』 제1권 명제 32는 이 사실을 옛 말투로 적습니다. 삼각형의 세 내각을 합하면 두 직각과 같다고 적습니다. 조이스의 해설은 이 명제가 제1권에서 꽤 늦게 나오는 까닭도 짚습니다. 증명에 평행선이 필요한데, 유클리드는 평행선 공준을 꼭 써야 할 때까지 미루어 둔 것으로 보인다는 설명입니다. 같은 해설에는 뒤 시대 주석가 프로클로스가 덧붙인 따름정리 두 개도 실려 있습니다. 그중 하나가 볼록한 도형의 외각을 모두 더하면 네 직각, 지금 말로 360°라는 내용입니다.

외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합입니다

삼각형의 한 변을 꼭짓점 너머로 늘이면, 늘인 선과 이웃한 변이 만드는 각이 생깁니다. 이것이 외각입니다. 꼭짓점 C에서 외각과 내각 C는 한 직선 위에 나란히 있으므로 (외각) = 180° − ∠C입니다. 그런데 ∠A + ∠B도 180° − ∠C입니다. 그러니 C의 외각은 ∠A + ∠B와 같습니다. 그 외각과 이웃하지 않은 두 내각의 합입니다. 유클리드는 같은 명제 32에서 이것을 내각의 합보다 먼저 적습니다. ∠A = 40°, ∠B = 65°라면 C의 외각은 105°이고, ∠C(75°)를 따로 구할 필요가 없습니다.

변 BC를 D까지 늘였습니다. 보라색 외각 ∠ACD는 ∠A와 ∠B를 더한 것과 같습니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

외각을 켜 두었습니다. A나 B를 끌면서 보라색 숫자와 A, B 두 각의 합을 견주어 보세요.

꼭짓점마다 외각을 하나씩 잡아 더해 봅시다. 외각은 각각 180°에서 그 내각을 뺀 것이므로, 셋을 더하면 3 × 180° − 180° = 360°입니다. 삼각형 모양 공원을 한 바퀴 걷는 사람은 모퉁이마다 방향을 틀어 모두 한 바퀴를 돕니다. 프로클로스의 따름정리를 삼각형에 적용한 모습입니다.

모르는 각은 식을 세워 구합니다

내각의 합을 알면 그림 문제 대부분이 한 줄짜리 방정식이 됩니다. OpenStax 교과서에는 세 각이 x°, (x + 17)°, (3x − 62)°인 삼각형이 나옵니다. 세 식을 더하면 5x − 45 = 180이므로 5x = 225, x = 45입니다. 세 각은 45°, 62°, 73°이고, 더하면 정말 180°입니다. 마지막에 이렇게 더해 보는 확인을 빼먹지 마세요. 식을 잘못 풀었으면 여기서 바로 드러납니다. 이등변삼각형에서는 두 밑각이 같다는 것을 함께 씁니다. 꼭지각이 40°이면 밑각은 각각 (180 − 40) ÷ 2 = 70°입니다.

내각: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. C의 외각 = ∠A + ∠B. 꼭짓점마다 외각 하나씩 더하면 360°.

삼각형의 두 각이 55°, 82°입니다. 나머지 한 각은?
삼각형의 두 각이 26°, 98°입니다. 나머지 한 각은?
직각삼각형의 한 예각이 28°입니다. 다른 예각은?
△ABC에서 ∠A = 40°, ∠B = 65°입니다. C의 외각은?
삼각형의 한 외각이 130°이고, 그 외각과 이웃하지 않은 내각 하나가 50°입니다. 이웃하지 않은 다른 내각은?
삼각형의 세 각이 x°, (x + 17)°, (3x − 62)°입니다. x는?
삼각형의 세 각의 크기의 비가 1 : 2 : 3입니다. 가장 큰 각은?
삼각형의 꼭짓점마다 외각을 하나씩 잡아 더하면?
이등변삼각형의 밑각이 각각 52°입니다. 꼭지각은?
종이 삼각형 열 개의 귀퉁이를 찢어 붙인 것이 증명이 아닌 까닭은?
- 그 열 개만, 그것도 대충 확인했기 때문
- 종이 삼각형은 180°보다 크기 때문
- 찢으면 각이 크게 바뀌기 때문
- 증명에는 각도기가 필요하기 때문

자주 하는 실수

「C의 외각은 180° − ∠C이니 ∠A, ∠B와는 상관없다.」 둘 다 맞습니다. 180° − ∠C와 ∠A + ∠B는 같은 값입니다. ∠C를 구하지 않아도 되니 ∠A + ∠B를 쓰는 쪽이 한 단계 짧을 때가 많습니다.
「삼각형이 크면 내각의 합도 크다.」 삼각형을 크게 늘이면 변은 길어지지만 각은 그대로입니다. 우표 위의 삼각형도, 운동장에 그린 삼각형도 내각의 합은 180°입니다.
「화면에서 세 각을 더하니 179.9°가 나왔으니 정리가 틀렸다.」 실험실은 각을 0.1°까지 반올림해 보여 주므로 반올림한 세 수의 합은 0.1만큼 어긋날 수 있습니다. 「합」 줄에 나오는 정확한 합은 180°입니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 삼각형과 사각형의 내각의 합은 초등학교 3~4학년군 [4수03-25]에서 「여러 가지 방법으로 추론하고」 설명하도록 되어 있습니다. 찢어 붙이기와 각도기로 재기가 여기에 해당합니다. 중학교 1~3학년군 [9수03-05]에서 삼각형과 다각형의 내각과 외각을 다시 다루고, 평행선 증명에는 [9수03-02]의 엇각 성질이 쓰입니다. 초등학교에서 재 보고 확인한 학생들은 그것으로 이미 증명이 끝났다고 여기기 쉽습니다. 한 각이 179°인 삼각형에서도 맞는다는 것을 어떻게 알 수 있겠느냐고 물어 보세요. 엇각을 쓰는 까닭이 그때 생깁니다.

핵심 정리

모든 삼각형에서 ∠A + ∠B + ∠C = 180°입니다.
증명: C를 지나 AB에 평행한 직선을 긋고 엇각 두 쌍을 씁니다.
C의 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합 ∠A + ∠B입니다.
꼭짓점마다 외각을 하나씩 더하면 360°입니다.

이 과정의 출처 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

확인한 날: 2026-10-19