변과 각으로 삼각형 나누기

세 변이 5 cm, 5 cm, 8 cm인 삼각형은 이등변삼각형이면서 둔각삼각형입니다. 앞의 이름은 변에서, 뒤의 이름은 약 106°인 가장 큰 각에서 나옵니다.

삼각자 두 개는 왜 생김새가 다를까

수학 시간에 쓰는 삼각자는 흔히 두 개가 한 벌입니다. 하나는 세 각이 45°, 45°, 90°이고, 다른 하나는 30°, 60°, 90°입니다. 둘 다 직각삼각형인데도 아무도 둘을 헷갈리지 않습니다. 차이는 변에 있습니다. 앞의 삼각자는 길이가 같은 변이 두 개이고, 뒤의 삼각자는 세 변의 길이가 모두 다릅니다. 그러니 삼각형 하나를 두고 질문을 두 번 할 수 있습니다. 세 변의 길이는 서로 어떤가? 가장 큰 각은 얼마나 큰가? 질문마다 이름이 하나씩 붙고, 두 이름은 서로 따로 정해집니다.

먼저 무엇을 삼각형이라고 하는지 정해 둡시다. 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 선분으로 이으면 삼각형이 됩니다. 세 점은 꼭짓점이고 세 선분은 변입니다. 삼각형은 꼭짓점 이름을 따서 △ABC라고 쓰고, 각 변에는 마주 보는 꼭짓점의 소문자를 붙여 두면 편합니다. 각 A와 마주 보는 변 BC가 a, 각 B와 마주 보는 변이 b, 각 C와 마주 보는 변이 c입니다. 중학교에서는 이 관계를 대변과 대각이라는 말로 부릅니다. 각 A의 대변은 변 BC이고, 변 BC의 대각은 각 A입니다. 3단원에서 「가장 긴 변의 대각이 가장 큰 각」이라는 성질을 쓸 때 이 짝이 그대로 필요합니다.

윗줄은 변으로 나누었습니다. 왼쪽부터 정삼각형, 이등변삼각형, 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형이고, 눈금 개수가 같은 변은 길이가 같습니다. 아랫줄은 가장 큰 각으로 나누었고, 왼쪽부터 예각삼각형, 직각삼각형(작은 네모), 둔각삼각형입니다.

변의 길이로 나누면 세 가지입니다

세 변의 길이가 모두 같으면 정삼각형, 두 변의 길이가 같으면 이등변삼각형입니다. 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변이 아닌 나머지 한 변을 밑변이라 하고, 밑변 양 끝에 있는 두 각을 밑각이라고 합니다. 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형은 부등변삼각형이라고 부르기도 하는데, 2022 개정 교육과정의 용어 목록에는 없는 말입니다. 그림에서는 길이를 숫자로 적는 대신 같은 변에 같은 개수의 짧은 눈금을 긋습니다. 눈금이 하나씩 있는 두 변은 길이가 같고, 눈금이 두 개인 변은 눈금이 두 개인 다른 변과만 길이가 같습니다.

그러면 정삼각형은 이등변삼각형일까요? 「두 변의 길이가 같은 삼각형」이라는 뜻을 그대로 따르면 그렇습니다. 세 변이 모두 같으면 두 변이 같다는 조건은 당연히 만족하니까요. 정사각형이 직사각형이기도 한 것과 같은 관계입니다. 정삼각형은 모두 이등변삼각형이지만, 세 변이 5, 5, 8인 이등변삼각형은 정삼각형이 아닙니다. 다만 책에 따라 「길이가 같은 변이 정확히 두 개」라고 정하기도 하니, 이런 질문이 시험에 나오면 교과서가 어느 뜻으로 쓰는지 먼저 확인하세요.

가장 큰 각으로 나누면 또 세 가지입니다

각으로 나눌 때도 경우는 셋입니다. 세 각이 모두 90°보다 작으면 예각삼각형, 한 각이 정확히 90°이면 직각삼각형, 한 각이 90°보다 크고 180°보다 작으면 둔각삼각형입니다. 직각은 그림에서 모서리에 작은 네모를 그려 표시합니다. 그런데 왜 「한 각」일까요? 세 각의 합은 언제나 180°이고, 이것은 다음 단원에서 증명합니다. 90° 이상인 각이 두 개라면 그 둘만으로 180°를 다 써 버려서 세 번째 꼭짓점에 남는 각이 없습니다. 그래서 어떤 삼각형이든 예각이 적어도 두 개 있고, 이름을 정하는 것은 가장 큰 각 하나뿐입니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

꼭짓점을 아무거나 끌어 보세요. 아래 칸에 가장 큰 각에 따른 이름과 변에 따른 이름이 함께 나옵니다. 직각이등변삼각형을 만든 뒤, 메뉴에서 「둔각삼각형」을 골라 위쪽 꼭짓점을 이름이 바뀔 때까지 당겨 보세요.

어떤 짝은 있고 어떤 짝은 없습니다

두 이름은 서로 다른 질문에 대한 답이므로 함께 붙일 수 있습니다. 아래 표에 짝마다 예를 하나씩 들었습니다. 빈칸이 두 개 있습니다. 정삼각형은 같은 변과 마주 보는 각도 서로 같아서 세 각이 모두 같고, 한 각이 180° ÷ 3 = 60°입니다. 그러니 직각삼각형이나 둔각삼각형이 될 수 없습니다. 맨 위의 5, 5, 8 삼각형은 이등변이면서 둔각인 칸에 들어갑니다. 두 밑각은 각각 약 36.9°이고, 길이가 같은 두 변 사이의 각은 약 106.3°입니다.

	예각삼각형	직각삼각형	둔각삼각형
정삼각형	60°, 60°, 60°	없음	없음
이등변삼각형	70°, 70°, 40°	45°, 45°, 90°	30°, 30°, 120°
세 변이 모두 다름	50°, 60°, 70°	30°, 60°, 90°	20°, 40°, 120°

변의 길이만 알아도 예각, 직각, 둔각을 가릴 수 있습니다. 가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합을 비교합니다. 같으면 직각, 작으면 예각, 크면 둔각입니다. 5, 5, 8이라면 8² = 64이고 5² + 5² = 50이라서 64가 더 크므로 둔각삼각형입니다. 왜 그런지는 6단원에서 다룹니다.

정삼각형	세 변의 길이가 모두 같고 세 각이 모두 60°
이등변삼각형	두 변의 길이가 같고 두 밑각의 크기가 같음
예각삼각형	세 각이 모두 90°보다 작음
직각삼각형	한 각이 정확히 90°
둔각삼각형	한 각이 90°보다 크고 180°보다 작음
변 a	각 A와 마주 보는 변(각 A의 대변)

세 각이 88°, 32°, 60°인 삼각형은?
- 예각삼각형
- 직각삼각형
- 둔각삼각형
- 있을 수 없다
세 각이 65°, 90°, 25°인 삼각형은?
- 직각삼각형
- 예각삼각형
- 둔각삼각형
- 정삼각형
세 각이 30°, 120°, 30°인 삼각형에 맞는 이름은?
- 둔각삼각형이면서 이등변삼각형
- 예각삼각형이면서 이등변삼각형
- 둔각삼각형이면서 정삼각형
- 직각삼각형이면서 이등변삼각형
있을 수 없는 삼각형은?
- 직각삼각형인 정삼각형
- 직각이등변삼각형
- 둔각인 이등변삼각형
- 세 변이 모두 다른 직각삼각형
세 변이 4 cm, 6 cm, 9 cm인 삼각형을 변으로 나누면?
- 세 변이 모두 다른 삼각형
- 이등변삼각형
- 정삼각형
- 직각삼각형
이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변 사이의 각이 40°입니다. 밑각 하나의 크기는?
정삼각형의 둘레가 93 cm입니다. 한 변의 길이는?
삼각형이 가질 수 있는 예각의 개수는 적어도 몇 개일까요?
정삼각형의 한 각은 몇 도일까요?
세 변이 5, 5, 8입니다. 8²과 5² + 5²를 비교하면 이 삼각형은?
- 둔각삼각형
- 직각삼각형
- 예각삼각형
- 정삼각형

자주 하는 실수

「직각삼각형은 한쪽이 치우쳐 있으니 이등변삼각형일 수 없다.」 45°, 45°, 90° 삼각자는 둘 다입니다. 직각을 낀 두 변의 길이가 같습니다. 변과 각은 따로 나누는 기준이라 삼각형 하나에 이름이 하나씩 붙을 수 있습니다.
「예각이 하나 있으면 예각삼각형이다.」 둔각삼각형과 직각삼각형에도 예각이 두 개씩 있습니다. 이름은 가장 큰 각이 정하므로, 예각삼각형이 되려면 세 각이 모두 90°보다 작아야 합니다.
「정삼각형은 같은 변이 세 개이니 이등변삼각형이 아니다.」 「두 변의 길이가 같다」는 뜻을 따르면 세 변이 같은 삼각형도 두 변이 같습니다. 정사각형은 직사각형이 아니라고 하는 것과 같은 실수입니다. 수업에서 쓰는 정의를 먼저 확인하세요.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 이 이름들은 초등학교 3~4학년군에 나옵니다. [4수03-08]에서 이등변삼각형과 정삼각형을, [4수03-09]에서 직각삼각형, 예각삼각형, 둔각삼각형을 배우는데, 둘 다 「분류 활동을 통하여」라고 적혀 있습니다. 부등변삼각형은 교육과정 용어 목록에 없으니 평가에 내지 않는 것이 좋습니다. 학생들이 막히는 곳은 두 기준을 섞는 데입니다. 종이 삼각형을 한 무더기 나눠 주고 처음에는 변으로, 다음에는 각으로 두 번 나누게 해 보세요. 두 번 나누는 사이에 무리를 옮겨 가는 삼각형 하나가 어떤 정의보다 설명을 잘해 줍니다.

핵심 정리

변으로: 정삼각형(세 변이 같음), 이등변삼각형(두 변이 같음), 세 변이 모두 다른 삼각형.
가장 큰 각으로: 예각삼각형(모두 90° 미만), 직각삼각형(한 각이 90°), 둔각삼각형(한 각이 90° 초과).
모든 삼각형에는 예각이 적어도 두 개 있습니다.
변 a는 각 A의 대변입니다. 정삼각형의 세 각은 모두 60°입니다.

이 과정의 출처 (7)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

확인한 날: 2026-10-19