Dreiecksarten nach Seiten und Winkeln

Ein Dreieck mit Seiten von 5, 5 und 8 cm ist zugleich gleichschenklig und stumpfwinklig. Der erste Name beschreibt die Seiten, der zweite den größten Winkel von etwa 106°.

Zwei Zeichendreiecke, zwei verschiedene Formen

Im Mathematikmäppchen findest du oft zwei Zeichendreiecke aus Kunststoff. Eines hat Winkel von 45°, 45° und 90°, das andere von 30°, 60° und 90°. Beide sind rechtwinklig, doch niemand würde sie verwechseln. Der Unterschied liegt in den Seiten. Beim ersten sind zwei Seiten gleich lang, beim zweiten alle drei verschieden. Ein Dreieck beantwortet also zwei getrennte Fragen: Wie verhalten sich seine Seiten zueinander? Und wie groß ist sein größter Winkel? Jede Frage liefert einen Namen, unabhängig vom anderen.

Zuerst: Was ist ein Dreieck? OpenStax beschreibt es so: Verbinde drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, durch Strecken. Die Punkte sind die Ecken, die Strecken die Seiten. Eine Bezeichnung aus demselben Buch verhindert später Verwechslungen: Nenne das Dreieck nach seinen Ecken ΔABC und jede Seite mit dem Kleinbuchstaben der gegenüberliegenden Ecke. Seite a liegt Winkel A gegenüber, b Winkel B und c Winkel C. In Einheit 3 nutzt du genau diese Zuordnung: Die längste Seite liegt immer dem größten Winkel gegenüber.

Drei Fälle bei der Einteilung nach Seiten

Sind alle drei Seiten gleich lang, ist das Dreieck gleichseitig. Sind zwei gleich lang, ist es gleichschenklig. Dort heißt die dritte Seite Basis; die Winkel an ihren Enden sind die Basiswinkel. Sind keine zwei Seiten gleich lang, ist das Dreieck ungleichseitig. Zeichnungen markieren gleiche Seiten mit gleichen Strichen statt Längenangaben: Ein Strich auf zwei Seiten bedeutet Gleichheit; eine Seite mit zwei Strichen entspricht nur anderen mit zwei Strichen.

Ist ein gleichseitiges Dreieck auch gleichschenklig? Nach der Definition „mindestens zwei gleich lange Seiten“ ja: Wer drei gleiche Seiten hat, hat auch zwei. Es ist wie bei Quadraten und Rechtecken. Jedes gleichseitige Dreieck ist gleichschenklig, aber eines mit Seiten 5, 5 und 8 ist nicht gleichseitig. Manche Bücher verlangen genau zwei gleiche Seiten; dann überschneiden sich die Namen nicht. Schau nach, welche Definition dein Buch nutzt.

Drei weitere Fälle nach dem größten Winkel

OpenStax teilt nach Winkeln mit drei kurzen Regeln ein. Im spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90°. Ein rechtwinkliges hat genau einen Winkel von 90°, mit kleinem Quadrat markiert. Ein stumpfwinkliges hat einen Winkel zwischen 90° und 180°. Warum einen, nicht zwei? Alle drei Winkel ergeben immer 180°, wie du gleich beweisen wirst. Zwei Winkel von mindestens 90° würden die ganzen 180° verbrauchen, ohne Platz für den dritten. Jedes Dreieck hat also mindestens zwei spitze Winkel; nur der größte bestimmt diese Einteilung.

Welche Kombinationen möglich sind

Da die Namen verschiedene Fragen beantworten, lassen sie sich kombinieren. Die Tabelle zeigt je ein Beispiel. Zwei Felder bleiben leer. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Winkel, weil gleichen Seiten gleiche Winkel gegenüberliegen; jeder misst 180° ÷ 3 = 60°. Es kann nie rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Das Dreieck 5, 5, 8 vom Anfang steht bei gleichschenklig und stumpfwinklig: Die Basiswinkel messen je etwa 36.9°, der Winkel zwischen den gleichen Seiten etwa 106.3°.