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Start›Geometrie und Zeichnungen

Dreiecke

Sieben Einheiten über Dreiecke: Einteilung nach Seiten und Winkeln, Winkelsumme 180° und Außenwinkel, welche drei Längen ein Dreieck ergeben, Kongruenzsätze und warum Seite-Seite-Winkel nicht genügt, ähnliche Dreiecke und Maßstab, Satz des Pythagoras mit zwei Beweisen und Umkehrung sowie Fläche aus Grundseite und Höhe oder mit Herons Formel aus drei Seiten. Zieh die Ecken im Trigonometrie-Labor und beobachte die Zahlen.

Fortschritt

Über diesen Kurs

Reiß die drei Ecken eines beliebigen Papierdreiecks ab und leg sie mit den Spitzen aneinander. Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel von 180°, ganz gleich, wie das Dreieck aussah. Das ist die Winkelsumme, die erste Aussage dieses Kurses. Das Trigonometrie-Labor rundet jeden Winkel auf 0.1°, deshalb können die drei gerundeten Werte um 0.1 abweichen. Die genaue Summe in der Zeile Summe beträgt aber 180°.

Die sieben Einheiten behandeln Dreiecksarten, Winkelsumme und Außenwinkel, die Frage, welche drei Längen ein Dreieck bilden, kongruente Dreiecke (SSS, SAS, ASA und warum SSA nicht genügt), ähnliche Dreiecke und Maßstab, den Satz des Pythagoras mit zwei Beweisen und seiner Umkehrung sowie den Flächeninhalt mit der heronschen Formel. Zwei Figuren sind ähnlich, wenn eine eine Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen ist. Entsprechende Winkel sind dann gleich groß, und entsprechende Seiten stehen alle im selben Verhältnis, dem Streckfaktor. Bei einem rechtwinkligen Dreieck auf Karopapier mit Katheten von 3 und 4 Kästchen Länge haben die Quadrate über den Katheten Flächen von 9 und 16 Kästchen. Das Quadrat über der längsten Seite bedeckt genau 25.

Die letzte Einheit berechnet den Flächeninhalt auf zwei Wegen. Der zweite braucht überhaupt keine Höhe: Bestimme für die Seiten a, b und c zunächst s, den halben Umfang. Dann gilt Flächeninhalt = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Für 13, 14 und 15 ist s = 42 ÷ 2 = 21, und der Flächeninhalt ist √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84. Zieh im Trigonometrie-Labor an den Ecken eines Dreiecks und beobachte, wie sich die Zahlen ändern.

Bevor du anfängst

Winkel zu addieren, Längen zu vergleichen und mit Verhältnissen zu rechnen hilft bei diesen Beispielen. Winkel bereitet auf Begründungen mit gestreckten Winkeln und parallelen Geraden vor. Im Dreieckslabor kannst du Eckpunkte verschieben und Messwerte vergleichen, aber die Lektionen fragen auch, warum eine Regel gilt, nicht nur, was die Anzeige zeigt.

Wenn du fertig bist

Du kannst Dreiecke nach Seiten und Winkeln einordnen, fehlende Winkel bestimmen und prüfen, ob drei Längen ein Dreieck bilden. Du kannst Kongruenzsätze anwenden, erklären, warum SSA nicht genügt, und mit ähnlichen Dreiecken Höhen berechnen. Du kannst den Satz des Pythagoras anwenden und Flächen aus Grundseite und Höhe oder mit Herons Formel bestimmen.

  1. 1Dreiecksarten nach Seiten und WinkelnEin Dreieck mit Seiten von 5, 5 und 8 cm ist zugleich gleichschenklig und stumpfwinklig. Der erste Name beschreibt die Seiten, der zweite den größten Winkel von etwa 106°.
  2. 2Winkelsumme und AußenwinkelReiß die drei Ecken eines Papierdreiecks ab und leg ihre Spitzen zusammen. Sie ergeben eine gerade Linie, 180°, unabhängig vom Ausgangsdreieck.
  3. 3Welche drei Längen ein Dreieck bildenStäbe von 3 cm, 4 cm und 8 cm lassen sich nicht zum Dreieck schließen. Die kurzen erreichen nur 3 + 4 = 7 cm, einen Zentimeter weniger als der lange.
  4. 4Kongruente Dreiecke: SSS, SAS, ASA und warum SSA scheitertZwei Dreiecke können einen Winkel von 30°, eine Seite von 10 und eine von 6 gemeinsam haben und doch verschieden sein: Die dritte Seite ist etwa 11.98 beziehungsweise 5.34.
  5. 5Ähnliche Dreiecke und MaßstabEin 1.6 m großes Schulkind wirft 2 m Schatten, der Fahnenmast der Schule 15 m. Der Mast ist 1.6 × 15 ÷ 2 = 12 m hoch, ohne hinaufzuklettern.
  6. 6Satz des Pythagoras, zwei Beweise und die UmkehrungAuf Karopapier hat ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten von 3 und 4 Kästchen Quadrate von 9 und 16 an den Katheten; das Quadrat an der längsten Seite bedeckt genau 25.
  7. 7Dreiecksfläche und Herons FormelEin Dreieck mit den Seiten 13, 14 und 15 m hat genau die Fläche 84 m², und zu dieser Zahl führen zwei ganz verschiedene Wege.

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Quellen zu diesem Kurs (7)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-08] 이등변삼각형·정삼각형, [4수03-09] 직각삼각형·예각삼각형·둔각삼각형, [4수03-25] 삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 여러 가지 방법으로 추론; 초등학교 5~6학년군 [6수03-01] 합동·대응점·대응변·대응각, [6수03-14] 삼각형의 넓이(높이가 삼각형의 외부에 있는 것도 다룸); 중학교 1~3학년군 [9수03-03] 삼각형의 작도, [9수03-04] 삼각형의 합동 조건, [9수03-05] 삼각형의 내각과 외각, [9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 합동 조건으로 정당화하고 증명이라는 용어 도입, [9수03-12]·[9수03-13] 닮음·닮음비·삼각형의 닮음 조건, [9수03-15] 피타고라스 정리를 추측하고 정당화, 역은 직관적으로 이해하고 직각삼각형 판별에 사용; 용어와 기호 대변, 대각, 내각, 외각, 증명, 닮음비, △ABC, ≡, ∽)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.3 Triangles (triangle from three noncollinear points; acute, right, obtuse; side a opposite angle A; hypotenuse and legs; angle sum 180° by a parallel line and alternate interior angles; x, x + 17, 3x − 62 gives 45°, 62°, 73°; SSS, SAS, ASA, AAS; similar triangles, scaling factor; tower shadow 180 ft with a 9 ft truck and 15 ft shadow gives 108 ft; Thales and the pyramid: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-3-triangles)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.3 Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (a² + b² = c²; Pythagoras around 500 BCE; 13 ft ladder 5 ft from the wall; 10 inch bracket about 7.1 inches; similar triangles: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem)
  • 9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids (A = ½bh from half a rectangle; isosceles and equilateral; equilateral perimeter 93 in: .../pages/9-4-use-properties-of-rectangles-triangles-and-trapezoids)
  • OpenStax Precalculus 2e, 8.2 Non-right Triangles: Law of Cosines (Heron’s formula with semi-perimeter s; sides 10, 15, 7 give s = 16 and area about 29.4; Chicago lot 62.4, 43.5, 34.1 m gives about 711.4 m²: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/8-2-non-right-triangles-law-of-cosines)
  • History for story blocks only: Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Prop. 20 triangle inequality and Heron’s shortest-path problem; Prop. 26 and its guide on congruence theorems, SSA ambiguity and side-side-right angle; Prop. 32 exterior angle and angle sum, Proclus corollaries; Prop. 47 and its guide on Old Babylonians ca. 1900 to 1600 BCE, Plimpton 322, the Zhou bi hypotenuse diagram, Proclus; Prop. 48 converse; Book VI Prop. 4 equiangular triangles: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Heron of Alexandria (formula proved in Metrica Book I; eclipse of 13 March 62; side of 720 about 26 5/6: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/) MacTutor, "Euclid of Alexandria" (born about 325 BC, died about 265 BC; dating for the Elements, about 2,300 years ago: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/, checked 2026-10-19).

Abgerufen: 2026-10-19