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Start›Geometrie und Zeichnungen

Kreise

Sechs Einheiten über Kreise: Bestandteile und Mittelpunktkonstruktion, Pi und Umfang mit Archimedes' Vieleckschranken, Kreisfläche durch Umlegen von Sektoren, Bogenlänge und Sektorfläche als Anteile von 360°, Mittelpunkts- und Umfangswinkel mit dem Winkel im Halbkreis sowie Tangenten, senkrechter Radius und gleiche Tangentenabschnitte von einem Punkt. Zieh einen Punkt auf dem Kreis, rolle einen Zylinder ab, klapp einen Kegel auf und klicke die Stücke eines Kreisdiagramms an.

Fortschritt

Über diesen Kurs

Euklids Definition des Kreises, Buch I, Definition 15 in der Ausgabe von D. E. Joyce, beschreibt eine ebene Figur, die von einer Linie begrenzt wird. Alle geraden Strecken von einem Punkt im Inneren bis zu dieser Linie sind gleich lang. Joyce weist in seinen Anmerkungen auf zwei Unterschiede zum heutigen Sprachgebrauch hin. Für Euklid ist der Kreis die ebene Fläche, die gebogene Begrenzung dagegen die Kreislinie. Ein eigenes Wort für Radius hatte er gar nicht: Er schrieb „die Linie vom Mittelpunkt“. Das englische Wort centre stammt von einem griechischen Wort, das auch einen Stachel oder Schürhaken bezeichnet, eine Anspielung auf den feststehenden, spitzen Schenkel des Zirkels.

Die sechs Einheiten beginnen mit den Teilen eines Kreises. Die Mittelsenkrechten zweier Sehnen auf einem Teller schneiden sich in genau einem Punkt, dem Mittelpunkt. Es folgen Pi und der Kreisumfang: Archimedes grenzte Pi zwischen 3 10/71 und 3 1/7 ein. MacTutor hält fest, dass William Jones π 1706 als Erster in seiner heutigen Bedeutung verwendete. Zu Chongzhi (430 bis 501) gab den auf sechs Nachkommastellen richtigen Bruch 355/113 an. Beim Flächeninhalt wird eine Pizza mit 30 cm Durchmesser mit einer von 20 cm verglichen: 1.5-mal so breit, aber 2.25-mal so viel zu essen. Bogenlänge und Kreisausschnitt werden an einem 10 cm langen Minutenzeiger erklärt, der in 20 Minuten 120° überstreicht. Bei Mittelpunkts- und Umfangswinkeln kommt Euklids Satz 31 aus Buch III vor: Der Winkel im Halbkreis beträgt 90°. Die letzte Einheit zeigt, dass von einem Punkt im Abstand von 13 cm zum Mittelpunkt eines Kreises mit Radius 5 cm beide Tangentenabschnitte genau 12 cm lang sind. In den Laboren ziehst du einen Punkt um einen Kreis, rollst einen Zylinder ab, klappst einen Kegel auf und klickst auf die Stücke eines Kreisdiagramms.

Bevor du anfängst

Bruchteile einer vollen Drehung helfen beim Berechnen von Bogenlängen und Sektorflächen. Winkel hilft auch bei Begründungen zu Mittelpunktswinkeln, Umfangswinkeln und Tangenten. Die erste Lektion benennt Kreisteile, damit du Radius, Durchmesser, Sehne und Tangente vor dem Anwenden von Formeln unterscheiden kannst.

Wenn du fertig bist

Du kannst den Kreismittelpunkt aus Sehnen bestimmen, Radius und Durchmesser unterscheiden und Umfang und Fläche berechnen. Du kannst mit einem Bruchteil von 360° Bogenlängen oder Sektorflächen finden, Mittelpunkts- und Umfangswinkel verknüpfen, den rechten Winkel im Halbkreis erkennen und gleich lange Tangenten von demselben äußeren Punkt nutzen.

  1. 1Teile des Kreises: Radius, Durchmesser, Sehne, Bogen, Sektor und TangenteZeichne zwei beliebige Sehnen auf einen runden Teller. Ihre Mittelsenkrechten schneiden sich in genau einem Punkt: dem Mittelpunkt.
  2. 2Pi und KreisumfangLeg eine Schnur um etwas Rundes: Ihre Länge ist etwas mehr als drei Durchmesser. Archimedes grenzte dieses „etwas mehr“ durch 3 10/71 und 3 1/7 ein.
  3. 3Kreisfläche: warum πr²?Eine Pizza von 30 cm ist 1.5-mal so breit wie eine von 20 cm, bietet aber 2.25-mal so viel zu essen.
  4. 4Bogenlänge und SektorflächeIn 20 Minuten dreht sich ein 10 cm langer Minutenzeiger um 120°, ein Drittel des Zifferblatts. Seine Spitze legt etwa 20.9 cm zurück.
  5. 5Mittelpunkts- und UmfangswinkelVerbinde irgendeinen Punkt eines Kreises mit den beiden Enden eines Durchmessers, dann beträgt der Winkel an diesem Punkt genau 90°. Euklid hat das als Buch III, Satz 31 bewiesen.
  6. 6Tangenten: der rechte Winkel am Berührpunkt und gleich lange TangentenabschnitteVon einem Punkt 13 cm vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius 5 cm sind beide Tangentenabschnitte genau 12 cm lang.

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Quellen zu diesem Kurs (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
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  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Abgerufen: 2026-10-19