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Start›Geometrie und Zeichnungen›Kreise

Mittelpunkts- und Umfangswinkel

Verbinde irgendeinen Punkt eines Kreises mit den beiden Enden eines Durchmessers, dann beträgt der Winkel an diesem Punkt genau 90°. Euklid hat das als Buch III, Satz 31 bewiesen.

Drei Sätze aus Euklids Kreisbuch

HintergrundBuch III von Euklids Elementen, das Buch über Kreise, enthält eine kurze Kette von Ergebnissen, die noch heute im Schulunterricht gelehrt werden. Satz 20 besagt, dass in einem Kreis der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel, wenn beide über demselben Bogen stehen. Satz 21 verwendet das sofort: Winkel im selben Segment sind einander gleich. Satz 31 besagt, dass der Winkel im Halbkreis ein rechter Winkel ist, und die Ausgabe von D. E. Joyce weist darauf hin, dass dieser Teil oft Satz des Thales genannt wird. Jeder Beweis ist nur wenige Zeilen lang und nutzt zwei Aussagen aus Buch I: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich (Satz 5), und ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden gegenüberliegenden Innenwinkel (Satz 32).

Zuerst die Namen. Nimm zwei Punkte A und B auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt O. Der Winkel AOB, dessen Scheitel im Mittelpunkt liegt, ist ein Mittelpunktswinkel. Nimm nun einen dritten Punkt C auf dem Kreis, auf der anderen Seite als der Bogen AB. Der Winkel ACB hat seinen Scheitel auf dem Kreis, und seine beiden Schenkel sind Sehnen. Er ist ein Umfangswinkel, und Euklid sagt, er steht auf dem Bogen AB. Ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel, die auf demselben Bogen stehen, sind das Paar, von dem der Satz handelt.

Warum der Umfangswinkel halb so groß ist

Hier ist Euklids Beweis für die übliche Zeichnung, bei der der Mittelpunkt innerhalb des Winkels ACB liegt. Zeichne die Gerade von C durch O und nenne ihren zweiten Schnittpunkt mit der Kreislinie D. Das Dreieck OCA ist gleichschenklig, weil OC und OA beide Radien sind. Seine Winkel bei C und bei A sind daher gleich; nenne jeden davon x. Der Winkel AOD ist ein Außenwinkel dieses Dreiecks, also ist er gleich x + x = 2x. Dieselbe Überlegung auf der anderen Seite mit dem Dreieck OCB ergibt Winkel BOD = 2y, wobei y der Winkel OCB ist. Addiere die beiden Hälften. Der Mittelpunktswinkel AOB beträgt 2x + 2y, und der Umfangswinkel ACB beträgt x + y. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel.

Links: Mittelpunktswinkel AOB blau und Umfangswinkel ACB orange über AB. Die gestrichelte Linie C–O–D teilt die Figur wie im Beweis in zwei gleichschenklige Dreiecke. Rechts: AB ist ein Durchmesser, daher beträgt der Winkel bei C und jedem anderen Kreispunkt C′ 90°.

Liegt O außerhalb ACB, entstehen dieselben Dreiecke, aber du subtrahierst statt zu addieren. Euklid behandelt das am Ende von Satz 20. In beiden Fällen ist der Umfangswinkel halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.

Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich

Verschiebe C beliebig auf demselben Bogen. Der Mittelpunktswinkel AOB bewegt sich nicht, also auch seine Hälfte nicht. Alle Umfangswinkel, die auf demselben Bogen stehen, sind gleich groß, das ist Satz 21. Ein Fotograf an irgendeiner Stelle dieses Bogens sieht die Bühne AB unter demselben Winkel. Liegen zwei Punkte C und D auf gegenüberliegenden Bögen der Sehne AB, ergeben die beiden Umfangswinkel zusammen 180°, weil ihre Mittelpunktswinkel ganz herumgehen und zusammen 360° ergeben. Deshalb ergeben die gegenüberliegenden Winkel eines Vierecks, dessen vier Ecken auf einem Kreis liegen, zusammen 180° (Euklid, Satz 22).

Der Winkel im Halbkreis

Sei AB ein Durchmesser. AOB ist gestreckt, also 180°, jeder Umfangswinkel darüber somit 90°: Satz 31. Auch umgekehrt: Liegt C auf dem Kreis mit ACB = 90°, ist der Mittelpunktswinkel über AB 180° und AB ein Durchmesser. Damit findest du mit einem Geodreieck die Mitte einer runden Platte: Lege die rechte Ecke an den Rand, markiere die Schnittpunkte der Schenkel mit dem Rand. Die Verbindung ist ein Durchmesser. Wiederhole; beide Durchmesser schneiden sich in der Mitte.

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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.

A und B sind die Enden eines Durchmessers eines Kreises mit dem Radius 1.25 (der Kreis selbst ist nicht gezeichnet), und C beginnt auf diesem Kreis, sodass der Winkel bei C 90° anzeigt. Ziehe C ein wenig nach oben, aus dem Kreis heraus: Der Winkel bei C fällt unter 90°. Ziehe ihn nach unten in Richtung AB, in den Kreis hinein, und er wird größer als 90°. Setze dann C an die Spitze des Kreises, gerade über die Mitte von AB: wieder 90°, mit 45° bei A und bei B. Euklids Satz 31 sagt dasselbe: Der Winkel in einem Segment, das größer als ein Halbkreis ist, ist kleiner als ein rechter Winkel, und in einem kleineren Segment ist er größer.
Ein rechtwinkliges Dreieck passt immer in einen Kreis, dessen Durchmesser seine Hypotenuse ist. Ein Dreieck mit den Katheten 6 und 8 hat die Hypotenuse 10, also hat der Kreis durch seine drei Ecken den Radius 5, und sein Mittelpunkt liegt in der Mitte der Hypotenuse.
  1. Ein Mittelpunktswinkel ist 100°. Wie groß ist ein Umfangswinkel über demselben Bogen?
  2. Ein Umfangswinkel ist 35°. Wie groß ist der zugehörige Mittelpunktswinkel?
  3. AB ist ein Durchmesser, C liegt auf dem Kreis. CAB beträgt 25°. Wie groß ist CBA?
  4. C und D liegen auf demselben Bogen. ACB ist 40°. ADB ist:
    • 40°
    • 80°
    • 20°
    • 140°
  5. Der Mittelpunktswinkel über dem großen Bogen AB beträgt 240°. Wie groß ist ein Umfangswinkel über diesem großen Bogen?
  6. Alle vier Ecken eines Vierecks liegen auf einem Kreis. Ein Winkel ist 70°. Wie groß ist der gegenüberliegende?
  7. Im Dreieck OAB ist O der Mittelpunkt, und der Mittelpunktswinkel AOB beträgt 80°. Wie groß ist der Winkel OAB?
  8. C liegt auf einem Kreis mit ACB = 90°. Was gilt für AB?
    • es ist ein Durchmesser
    • es ist eine Tangente
    • es ist ein halber Radius
    • nichts lässt sich sagen
  9. Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten 6 cm und 8 cm. Wie groß ist der Radius des Kreises durch seine Ecken?
  10. A und B sind Durchmesserenden. P liegt im Kreisinneren, nicht auf der Kreislinie. APB ist:
    • größer als 90°
    • genau 90°
    • kleiner als 90°
    • immer 45°
  11. C und D liegen auf gegenüberliegenden Bögen der Sehne AB. ACB = 40°. Wie groß ist ADB?
Häufige Fehler
  • „Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel sind gleich.“ Der Umfangswinkel ist halb so groß. Sein Scheitel auf der Kreislinie liegt weiter entfernt, der Winkel ist schmaler.
  • „Der Mittelpunktswinkel ist halb so groß wie der Umfangswinkel.“ Es ist umgekehrt. Zu einem Mittelpunktswinkel von 100° gehört ein Umfangswinkel von 50°. Stell dir den Halbkreis vor: Der Mittelpunktswinkel beträgt 180° und der Umfangswinkel 90°.
  • „Der Winkel im Halbkreis ist nur 90°, wenn C ganz oben liegt.“ Jeder Kreispunkt außer A und B ergibt 90°. Zieh C im Trigonometrie-Labor auf dem Kreis entlang: Nur die Winkel bei A und B ändern sich.
Hinweis für LehrkräfteIm koreanischen nationalen Lehrplan von 2022 erscheint der Umfangswinkel in der Mittelschule, Klassen 1 bis 3, in einem Standard, der von Lernenden verlangt, die Eigenschaften von Umfangswinkeln zu verstehen und zu begründen. Umfangswinkel steht in der Begriffsliste. Der Lehrplan sagt außerdem, dass Kreiseigenschaften mit Proportionen nicht behandelt werden, sodass Ergebnisse wie der Sehnensatz ausgeschlossen bleiben. Der Schritt, den Lernende überspringen, ist die Fallunterscheidung. Sie beweisen den Satz mit dem Mittelpunkt innerhalb des Winkels und setzen den Rest voraus. Zeichne drei Bilder nebeneinander, mit dem Mittelpunkt innerhalb des Winkels, auf einem seiner Schenkel und außerhalb, und frage, welcher Schritt des Beweises sich jeweils ändert.
Das Wichtigste
  • Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen (Euklid III.20).
  • Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich (III.21).
  • Der Winkel im Halbkreis ist 90° (III.31). Umgekehrt steht ein Umfangswinkel von 90° über einem Durchmesser.
  • Umfangswinkel über gegenüberliegenden Bögen einer Sehne ergeben 180°.
Quellen zu diesem Kurs (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Abgerufen: 2026-10-19