edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи›Окружности и круги

Центральные и вписанные углы

Соедини любую точку окружности с обоими концами диаметра, и угол с вершиной в этой точке будет равен ровно 90°. Евклид доказал это в предложении 31 книги III.

Три предложения книги Евклида об окружностях

КонтекстКнига III «Начал» Евклида, посвящённая кругам, содержит короткую цепочку результатов, которые до сих пор изучают в школе. В предложении 20 говорится, что центральный угол вдвое больше вписанного, если оба опираются на одну дугу. Предложение 21 сразу использует это: углы в одном сегменте равны между собой. По предложению 31 угол в полуокружности прямой; в издании Д. Э. Джойса отмечается, что эту часть часто называют теоремой Фалеса. Каждое доказательство занимает всего несколько строк и использует два факта из книги I: углы при основании равнобедренного треугольника равны (предложение 5), а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним (предложение 32).

Сначала названия. Возьми две точки A и B на окружности с центром O. Угол AOB с вершиной в центре называется центральным. Теперь возьми третью точку C на окружности, по другую сторону от дуги AB. Вершина угла ACB лежит на окружности, а обе его стороны являются хордами. Это вписанный угол; Евклид говорит, что он опирается на дугу AB. Именно о паре центрального и вписанного углов, опирающихся на одну дугу, и говорится в теореме.

Почему вписанный угол вдвое меньше центрального

Вот доказательство Евклида для обычного рисунка, где центр лежит внутри угла ACB. Проведи прямую из C через O до её второго пересечения с окружностью в точке D. Треугольник OCA равнобедренный, поскольку OC и OA являются радиусами, поэтому его углы при C и A равны; обозначим каждый через x. Угол AOD является внешним углом этого треугольника, значит, равен x + x = 2x. То же рассуждение с другой стороны, для треугольника OCB, даёт угол BOD = 2y, где y — угол OCB. Сложи обе части. Центральный угол AOB равен 2x + 2y, а вписанный угол ACB равен x + y. Центральный угол вдвое больше вписанного.

Слева центральный угол AOB (синий) и вписанный угол ACB (оранжевый) опираются на одну дугу AB. Пунктирная прямая из C через O до D делит фигуру на два равнобедренных треугольника, как в доказательстве Евклида. Справа AB является диаметром, поэтому угол при C и при любой другой точке C′ окружности равен 90°.

Если центр лежит вне угла ACB, появляются те же два треугольника, но вместо сложения нужно вычитать. Евклид рассматривает и этот случай в конце предложения 20. В любом случае результат сохраняется: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Все вписанные углы на одной дуге равны

Перемещай C по той же дуге. Центральный угол AOB не меняется, значит, не меняется и его половина. Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны: это предложение 21. Фотограф из любой точки этой дуги видит сцену AB под одним углом. Если точки C и D находятся на противоположных дугах хорды AB, сумма двух вписанных углов равна 180°, поскольку соответствующие центральные углы образуют полный оборот и в сумме дают 360°. Поэтому сумма противоположных углов четырёхугольника, все четыре вершины которого лежат на окружности, равна 180° (Евклид, предложение 22).

Угол в полуокружности

Теперь пусть AB является диаметром. Центральный угол AOB развёрнутый, 180°, поэтому каждый опирающийся на него вписанный угол равен 90°. Это предложение 31. Верно и обратное: если C лежит на окружности и угол ACB равен 90°, центральный угол, опирающийся на AB, равен 180°, поэтому AB обязательно является диаметром. Так можно найти центр круглой доски с помощью чертёжного угольника. Приложи вершину прямого угла к краю, отметь пересечения двух сторон с краем: линия между отметками будет диаметром. Повтори дважды, и два диаметра пересекутся в центре.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

A и B являются концами диаметра окружности радиуса 1.25 (сама окружность не нарисована), а C сначала лежит на ней, поэтому угол C равен 90°. Перетащи C немного вверх, за пределы круга: угол C станет меньше 90°. Перетащи её вниз к AB, внутрь круга: угол превысит 90°. Затем помести C в верхнюю точку окружности прямо над серединой AB: снова получится 90°, а при A и B будет по 45°. Предложение 31 Евклида утверждает то же: угол в сегменте, большем полукруга, меньше прямого, а в меньшем сегменте больше прямого.
Прямоугольный треугольник всегда вписывается в окружность, диаметром которой служит его гипотенуза. У треугольника с катетами 6 и 8 гипотенуза равна 10, поэтому окружность через три его вершины имеет радиус 5 и центр в середине гипотенузы.
  1. Центральный угол равен 100°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?
  2. Вписанный угол равен 35°. Чему равен центральный угол, опирающийся на ту же дугу?
  3. AB — диаметр окружности, точка C лежит на окружности. Угол CAB равен 25°. Чему равен угол CBA?
  4. Точки C и D лежат на одной дуге. Угол ACB равен 40°. Угол ADB равен:
    • 40°
    • 80°
    • 20°
    • 140°
  5. Центральный угол, измеренный по большей дуге AB, равен 240°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на эту большую дугу?
  6. Все четыре вершины четырёхугольника лежат на окружности. Один угол равен 70°. Чему равен противоположный ему угол?
  7. В треугольнике OAB точка O — центр окружности, центральный угол AOB равен 80°. Чему равен угол OAB?
  8. Точка C лежит на окружности, угол ACB равен 90°. Что можно сказать об AB?
    • это диаметр
    • это касательная
    • это половина радиуса
    • ничего нельзя сказать
  9. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Чему равен радиус окружности, проходящей через три его вершины?
  10. A и B — концы диаметра окружности. Точка P лежит внутри круга, а не на окружности. Угол APB:
    • больше 90°
    • ровно 90°
    • меньше 90°
    • всегда 45°
  11. Точки C и D лежат на противоположных дугах хорды AB. Угол ACB равен 40°. Чему равен угол ADB?
Частые ошибки
  • «Вписанный угол равен центральному». Вписанный угол вдвое меньше. Его вершина на окружности дальше от дуги, поэтому угол уже.
  • «Центральный угол вдвое меньше вписанного». Всё наоборот. Центральному углу 100° соответствует вписанный угол 50°. Представь полуокружность: центральный угол равен 180°, а вписанный 90°.
  • «Угол в полуокружности 90° только при C наверху». Любая точка окружности, кроме A и B, даёт 90°. Двигай C по окружности в лаборатории тригонометрии: меняются только углы при A и B.
Заметка для учителяВ национальной учебной программе Южной Кореи 2022 года вписанный угол появляется в 1–3 классах средней школы: стандарт требует понимать и обосновывать его свойства. Вписанный угол включён в список терминов. Программа также исключает свойства окружностей, связанные с пропорциями, поэтому такие результаты, как теорема о пересекающихся хордах, не рассматриваются. Ученики часто пропускают разбор случаев: доказывают теорему для центра внутри угла и считают остальное очевидным. Нарисуй рядом три случая: центр внутри угла, на одной из сторон и вне угла. Спроси, какой шаг доказательства меняется в каждом случае.
Главное
  • Вписанный угол вдвое меньше центрального на той же дуге (Евклид III.20).
  • Вписанные углы на одной дуге равны (III.21).
  • Угол в полуокружности равен 90° (III.31); обратно, вписанный угол в 90° опирается на диаметр.
  • Вписанные углы на противоположных дугах хорды в сумме дают 180°.
Источники курса (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Проверено: 2026-10-19