Окружности и круги

Шесть уроков: элементы окружности и поиск центра, π и длина окружности с оценками Архимеда по многоугольникам, площадь круга из переложенных секторов, длина дуги и площадь сектора как доли от 360°, центральные и вписанные углы с углом в полуокружности, а также касательные: радиус перпендикулярен касательной, и две касательные из одной точки равны. Двигай точку по окружности, разворачивай цилиндр, развёртывай конус и щёлкай по секторам круговой диаграммы.

Прогресс

О курсе

Евклид в определении круга, книга I, определение 15 в издании Д. Э. Джойса, описывает плоскую фигуру, ограниченную одной линией, к которой все прямые, проведённые из одной внутренней точки, равны. В примечаниях Джойс указывает на два отличия от современного понимания. Круг у Евклида является плоской областью, а кривая линия — окружностью. Кроме того, отдельного слова для радиуса у него не было: он писал «линия из центра». Английское centre восходит к греческому слову, которое также обозначает стрекало или кочергу: это отсылка к неподвижной заострённой ножке циркуля.

Шесть уроков начинаются с элементов окружности: серединные перпендикуляры к двум хордам на тарелке пересекаются ровно в одной точке, её центре. Затем идут число π и длина окружности: Архимед заключил π между 3 10/71 и 3 1/7. По сведениям MacTutor, Уильям Джонс первым использовал π в нынешнем значении в 1706 году, а Цзу Чунчжи (с 430 по 501 год) дал приближение 355/113, верное до шести знаков после точки. Урок о площади круга сравнивает пиццы диаметром 30 см и 20 см: первая шире в 1.5 раза, а еды в ней в 2.25 раза больше. Длина дуги и площадь сектора рассматриваются на минутной стрелке длиной 10 см, которая за 20 минут поворачивается на 120°. Урок о центральных и вписанных углах включает предложение 31 из книги III Евклида: угол, вписанный в полуокружность, равен 90°. В последнем уроке из точки в 13 см от центра окружности радиусом 5 см обе касательные имеют длину ровно 12 см. В лабораториях ты перемещаешь точку по окружности, разворачиваешь цилиндр и конус, нажимаешь на секторы круговой диаграммы.

Перед началом

Доли полного оборота помогают находить длины дуг и площади секторов. Курс Углы также помогает рассуждать о центральных и вписанных углах и касательных. Первый урок называет части окружности, чтобы до использования формул ты различал радиус, диаметр, хорду и касательную.

Когда закончишь

Ты сможешь найти центр окружности по хордам, различить радиус и диаметр, вычислить длину окружности и площадь круга. Ты используешь долю от 360° для длины дуги или площади сектора, свяжешь центральные и вписанные углы, узнаешь прямой угол в полуокружности и применишь равенство касательных из одной внешней точки.

Похожие курсы

Углы
Пять уроков об углах: как измерять их транспортиром, как называются их виды, какие пары дают в сумме 90° и 180°, восемь углов там, где прямая пересекает две параллельные прямые, и суммы углов треугольников и многоугольников. В тригонометрической лаборатории на каждой странице есть транспортир, пара параллельных прямых и треугольник, вершины которого можно перетаскивать.
Треугольники
Семь уроков о треугольниках: виды по сторонам и углам, сумма углов 180° и внешний угол, допустимые длины сторон, признаки равенства и почему двух сторон и неприлежащего угла недостаточно, подобие и масштаб, теорема Пифагора с двумя доказательствами и обратной теоремой, площадь по основанию и высоте или по трём сторонам по формуле Герона. Перетаскивай вершины в лаборатории тригонометрии и наблюдай за числами.
Площадь поверхности и объём тел
Коробка хлопьев, консервная банка, рожок мороженого и мяч: для каждого есть формула, сколько картона уйдёт на оболочку и сколько поместится внутрь. Разверни каждое тело в 3D, меняй размеры ползунками и смотри, как меняются числа.
Тригонометрия
Шесть уроков тригонометрии прямоугольного треугольника и единичной окружности. Ты назовёшь стороны прямоугольного треугольника, определишь синус, косинус и тангенс как отношения, выучишь точные значения для 30°, 45° и 60°, научишься решать треугольник по одной стороне и одному углу, измерять высоты, до которых не дотянуться, перейдёшь к радианам и единичной окружности и построишь синусоиду. В тригонометрической лаборатории есть прямоугольный треугольник с изменяемым размером, полигон для измерения высот и единичная окружность, связанная со своим графиком.

Источники курса (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Проверено: 2026-10-19